asta depinde cu adevărat de ceea ce vrei să spui prin „infinit”. Dacă vrei să spui $ \ infty$, atunci acesta nu este un număr, ci mai degrabă o prescurtare pentru conceptul că o anumită cantitate (de obicei un număr natural sau real) crește dincolo de orice limită finită. Ca atare, nu o puteți înmulți cu nimic, și mai ales nu cu sine. Există, totuși, mai multe sisteme aritmetice care au elemente mai mari decât orice sumă finită a formei $1+1+\cdots +1$ și, prin urmare, merită să fie numită infinit în dimensiune. Vă voi spune despre trei dintre ele (ușor simplificate, dar sperăm că nu direct incorecte).
primul este cardinalii. Ele semnifică cât de mare este ceva (un set). Un cardinal finit este doar un număr natural (semnificând „dimensiunea unui set cu atâtea elemente”), dar există și cardinali ininiți. Cel mai mic cardinal infinit este $\aleph_0$, dimensiunea setului de numere natruale.
adăugarea cardinalilor funcționează așa cum v-ați aștepta să funcționeze adăugarea de dimensiuni, și anume punerea celor două seturi una lângă alta și numărarea numărului de elemente în total. Mai precis, dacă aveți două numere cardinale $\kappa_1, \kappa_2$, fiecare semnificând dimensiunea a două seturi $X_1, X_2$, atunci Cardinalul $\kappa_1+\kappa_2$ este cardinalitatea Uniunii disjuncte $X_1\sqcup X_2$, sau echivalent, setul de perechi $(x_i, i)$ unde $x_i \în X_i$ și $i \în \{1, 2\}$.
multiplicarea cardinalilor funcționează în felul următor: $ \ kappa_1 \ cdot \ kappa_2 $ este dimensiunea setului $X_1 \ ori X_2$, setul de perechi $ x_1, x_2$ cu $x_1 \ în x_1$ și $x_2 \ în x_2$. Dacă cea mai mare dintre $\kappa_1$ și $\kappa_2$ este infinită, atunci $\kappa_1+\kappa_2 = \kappa_1\cdot\kappa_2 = \max(\kappa_1, \kappa_2)$. Aceasta înseamnă că dacă $\kappa$ este un cardinal infinit, $\kappa^2 = \kappa$, deci obținem și $\sqrt\kappa = \kappa$.
(de asemenea, puteți defini exponenți: $\kappa_1^{\kappa_2}$ este dimensiunea setului tuturor funcțiilor posibile din $X_2$ până la $X_1$. De exemplu, $2$ este un set cu două elemente, deci $ \ kappa^2$ este setul de funcții dintr-un set de două elemente la $\kappa$. O funcție dintr-un set cu două elemente este aceeași cu o pereche ordonată, deci aceasta este de fapt aceeași cu $\kappa\cdot \kappa$. Elegant, nu-i asa?)
al doilea este ordinalii. Ele semnifică ordonarea obiectelor. Cu toate acestea, nu toate ordonările, ci ordonările în care orice subset are un element mai mic, așa-numitele ordonări bine. Din nou, un ordinal finit este doar un număr natural (semnificând „ordonarea tuturor numerelor naturale mai mici”), dar la fel ca ultima dată, există ordinale infinite, dintre care cel mai mic se numește $\omega_0$, sau doar $\omega$, și înseamnă ordonarea numerelor naturale.
adăugarea ordinalelor se face în felul următor: dacă $\gamma, \lambda$ sunt ordinale, atunci $\gamma + \lambda$ este comanda obținută prin plasarea $\gamma$ în fața $\lambda$. De exemplu, $1 + \ omega$ este la fel ca $\omega$, pentru că dacă luați numerele naturale și puneți un element în fața tuturor, aveți ceva care, în ceea ce privește comanda, arată exact la fel ca numerele naturale în sine. Cu toate acestea, $\omega + 1$ înseamnă a pune un singur element după toate numerele naturale, care este o ordine diferită.
multiplicarea funcționează în felul următor: $\gamma\cdot \lambda$ este ordinalul pe care îl obținem luând $\lambda$, înlocuind fiecare element din acea ordonare cu o copie a $\gamma$ și apoi adăugați-le pe toate în acea ordine (adică. puneți-le unul după altul) (specificăm că vă deplasați de la stânga la dreapta). În acest fel, $2\cdot \omega$ înseamnă a lua numerele naturale, a schimba fiecare dintre numerele de acolo pentru două numere și apoi a pune toate aceste perechi una după alta. Acest lucru ne dă $ \ omega$ înapoi. Cu toate acestea, $\omega\cdot 2$ înseamnă a lua o pereche ordonată, a schimba fiecare dintre cele două elemente cu o copie a numerelor naturale și apoi a pune o copie după alta. Acesta este același lucru pe care l-ați obține calculând $\omega + \omega$.
în acest cadru, înmulțirea și Adunarea ordinalelor infinite nu este la fel de banală ca pentru cardinali. Obținem, de exemplu, $\omega\cdot \omega = \omega + \omega +\omega + \cdots$, care este cel mai mic infinit ordinal pătrat perfect. Ca și în cazul numerelor naturale în sine, există unii ordinali care au o rădăcină pătrată, iar unii care nu. Mai exact, $\omega$ nu are o rădăcină pătrată.
(puteți defini exponenți și pentru ordinali: În acest caz, $\gamma^\lambda $ este ordinalul pe care îl obținem dacă luăm $\lambda$, înlocuim fiecare element din el cu copii ale $\gamma$ și le înmulțim împreună, la fel cum multiplicarea a fost definită ca adăugare repetată. Acest lucru face $ \ omega^2 = \ omega \ cdot \ omega$. Elegant, nu-i asa? Rețineți că, deși adunarea și multiplicarea ordinală și cardinală sunt oarecum similare, noțiunile lor de exponențiere sunt foarte diferite.)
în cele din urmă, vă voi spune despre numerele suprarealiste. În timp ce ordinalii și cardinalii sunt folosiți intens în teoria mulțimilor, numerele suprarealiste sunt mai mult o curiozitate. Ele sunt, de asemenea, un pic mai dificil să-și încheie capul în jurul. Cu toate acestea, îmi plac foarte mult, așa că iată un scurt rezumat.
un număr suprarealist $x$ constă dintr-o pereche ordonată de seturi scrise $\langle l_x\mid r_x\rangle$, unde $l_x$ numit setul stâng de $x$ și $r_x$ se numește setul drept. Aceste seturi ambele constau din alte numere suprarealiste, cu cerința ca dacă $x_l \în l_x$ și $x_r\în r_x$, atunci avem $x_l < x_r$. $X$ înseamnă apoi un număr suprarealist între $l_x$ și $r_x$ (primul astfel de număr în funcție de generația sa, vezi mai jos). Ordonarea este definită în felul următor: având în vedere două numere suprarealiste $x = \ langle l_x \ mid r_x \ rangle, y=\langle l_y \ mid r_y \ rangle$ spunem că $x \ leq y $ iff ambele sunt adevărate:
- nu există $x_l\în l_x$ astfel încât $y \ leq x_l$
- nu există $y_r \ în r_y$ astfel încât $y_r \ leq x$
(rețineți că, pentru a evalua $y \leq x_l$ și $y_r\leq X$, trebuie să aplicați din nou aceeași definiție. Acest lucru va deveni, în practică, foarte obositor pentru toate, cu excepția celor mai simple numere. Acest concept recursiv revine la definirea adunării și înmulțirii.)
de fapt, nu am fost destul de sincer mai devreme. Un număr suprarealist este o clasă de echivalență a unor astfel de perechi (asta mi-a luat mult timp să apreciez cu adevărat). O pereche în sine este numită formă de număr suprarealist. Două forme $x, y$ aparțin aceleiași clase de echivalență iff $x \ leq y$ și $y \ leq x$.
fiecare număr suprarealist are o așa-numită „generație”. Primul număr suprarealist (generație $0$) este $0 = \langle {}\mid{} \rangle$ unde seturile stânga și dreapta sunt goale. Următoarele două numere suprarealiste (generație $1$) sunt $1 = \langle0\mid{}\rangle$ și $-1 = \langle{}\mid 0\rangle$. Generație $2 $ este format din $-2 = \langle {} \ mid -1 \ rangle$, $ – \ frac12 = \langle -1\mid 0\rangle$, $\frac12 = \langle 0\mid 1 \rangle$ și $2 = \langle 1\mid {} \ rangle$.
aici putem vedea clasele de echivalență la locul de muncă, pentru că avem, de asemenea, $2 = \langle -1, 0, 1\Mid {}\rangle$, și avem, de exemplu, $0 = \langle -2\mid 1\rangle$, pentru că, deși $-1$, $\frac12$ și $-\frac12$ sunt, de asemenea, între $-2$ și $1$, $0$ aparține unei generații anterioare. Puteți verifica dacă avem într-adevăr $\langle -2\mid 1\rangle\LEQ \langle {}\mid {}\rangle$ și în același timp $\langle {}\mid{}\rangle \LEQ \langle -2\mid 1\rangle$, în timp ce același lucru nu este valabil dacă schimbăm $\langle {}\mid{}\rangle$ pentru $\langle 0\mid 1\rangle$.
continuăm să facem diviziuni mai fine și mai fine în toate generațiile finite, fiecare număr care apare fiind un număr de forma $\frac A{2^b}$, o fracțiune diadică, până când ajungem la prima generație infinită, $\omega$ (da, generațiile sunt ordinale), unde toate numerele reale apar brusc (de exemplu, $\sqrt 2 = \langle 1, \frac{5}{4}, \frac{11}{8}, \ldots{}\mid {}\ldots,\frac{12}{8}, \frac{3}{2}, 2\Rangle$). De asemenea, obținem primul ordinal infinit, $\omega$ în sine, ca $\langle 1, 2, 3,\ldots{}\mid{}\rangle$, și reciproca sa $\frac1\omega = \langle {}\mid {}\ldots \frac18,\frac14,\frac12, 1\rangle$.
până acum nu am vorbit despre aritmetică. Fără asta, nu există nici un motiv pentru a apela $\langle 0\mid 1\rangle$ $\frac12$ și nu orice altceva. Dat $x = \ langle l_x \ mid r_x \ rangle $și $ y = \ langle l_y \ mid r_y \ rangle$, adăugarea este definită recursiv de$$x + y = \ langle \ {x + y_l: y_l \în l_y\} \cup \ {x_l + y:x_l\in L_x\} \ mid \ {x + y_r: y_r \în R_y\} \ cupă \ {x_r + y:X_r\în R_x\}\rangle$$înmulțirea este un pic mai dezordonată, așa că voi folosi o prescurtare:$$xy = \langle \{x_ly + xy_l – x_ly_l\}\cup\{x_ry + xy_r – x_ry_r\}\mid \{x_ly + xy_r – x_ly_r\}\cup\{x_ry + xy_l – x_ry_l\}\rangle$$unde scăderea este definit ca s-ar putea aștepta, prin negarea numărul corect și adăugarea. Negarea se face prin negarea fiecărui element din seturile din dreapta și din stânga și schimbarea celor două în jur.
la fel ca în cazul ordinalelor, $\omega^2 = \omega\cdot \omega$ este un pătrat perfect. Cu toate acestea, aici vine partea distractivă: orice număr suprarealist pozitiv are o rădăcină pătrată. Pentru a obține rădăcina pătrată a $\omega$, trebuie să mai avem câteva definiții (teoretic, s – ar putea și ar trebui să justificăm fiecare dintre aceste nume prin efectuarea adunării și înmulțirii pentru a vedea că obțineți ceea ce ar trebui, dar asta este multă muncă):$$\omega – 1 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega\rangle\\\omega – 2 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega – 1\rangle\\\omega – 3 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega – 2\Rangle\\\vdots$$și apoi obținem $\frac\omega2 = \Langle 1, 2, 3,\ldots \mid\ldots, \omega – 3, \omega – 2, \omega-1\Rangle$. În mod similar, putem defini $ \ frac \ omega2-1, \frac\omega2 – 2$ și așa mai departe și obținem $\frac\omega4 = \langle 1, 2, 3, \ldots\mid \ldots, \frac\omega2-3,\frac\omega2 – 2,\frac\omega2-1\rangle$. Apoi putem defini $ \ frac \ omega8, \ frac \ omega{16}$ și așa mai departe. În cele din urmă, obținem $\sqrt\omega = \langle 1, 2, 3, 4,\ldots\mid \ldots,\frac\omega8,\frac\omega4,\frac\omega2,\omega\rangle$. Suntem acum la generation $ \ omega^2$.
