 |
 |
Figura 1. Carte de vizită (carte de vizită) circa 1866 de Augustus De Morgan, semnat „ADeMorgan” de el. Fotografie de Maull și Polyblank (Vezi nota). (Din colecția Dr.Sid Kolpas)
o scurtă biografie
Augustus De Morgan (1806-1871) a fost unul dintre cei mai influenți și de succes profesori de Matematică din secolul al 19-lea. Atât prin standardele contemporane, cât și prin cele actuale, a fost un profesor extraordinar. Potrivit lui Adrian Rice, în articol, „Ce face un mare profesor de matematică? Cazul lui Augustus De Morgan, ” a fost un exemplu de mare profesor de matematică, unul care a insuflat elevilor săi o dragoste și un entuziasm pentru subiect, având astfel un efect profund asupra lor, chiar dacă nu au urmat niciodată o carieră în matematică. Dovada acestei opinii provine din comentariile supraviețuitoare ale studenților lui De Morgan și ale unor matematicieni renumiți care au fost influențați de învățătura sa. El poseda acea combinație rară de înțelegere, umor și creativitate. Prelegerile sale au fost concise și lucide; spre deosebire de prea mulți dintre colegii săi, el a avut grijă ca elevii săi să fie stimulați, provocați, inspirați și instruiți cu atenție cu o planificare și o pedagogie solidă. Ura examenele competitive și lipsa de schimb de cunoștințe care a rezultat din acestea (o problemă actuală în școlile noastre); era în favoarea învățării prin cooperare. Elevii au raportat că prelegerile sale erau bogate în umor, aplicații la alte discipline, referințe pentru studii ulterioare și dragoste pentru subiectul său. Chiar și cele mai abstracte concepte au fost clarificate prin utilizarea strălucitoare a analogiei, metaforei și comparației.
De Morgan s-a născut în Madura, India. A fost educat în școli private până la intrarea sa la Trinity College, Cambridge, la vârsta de șaisprezece ani. A fost un student excelent, aproape de vârful clasei sale. Cu toate acestea, el a optat să nu obțină diploma de masterat sau să concureze pentru o bursă de facultate din cauza obiecției sale de conștiință față de testele religioase care erau necesare candidaților la Cambridge. În 1828, pe meritul realizărilor sale academice, a primit o numire ca profesor de matematică la noua universitate din Londra (care a devenit University College London). El va preda acolo de peste 30 de ani, inspirând generații de studenți. Generațiile următoare ale studenților săi l – au numit „Gussy”-figura înaltă și puternică care se uită prin ochelari cu rame de aur, care îi va învăța cu pasiune matematica.
reputația sa a crescut datorită învățăturii sale remarcabile, încurajatoare, grijulii și articolelor sale despre subiecte de ultimă oră, puzzle-uri matematice, jocuri, ciudățenii și paradoxuri; de Morgan a fost Martin Gardner al secolului al XIX-lea. Dragostea lui De Morgan pentru puzzle-uri și povești matematice a dus, postum, la publicarea lui bugetul paradoxurilor (1872); este încă tipărit. În timp ce era un om de natură blândă, era și un om cu convingere puternică. El a luptat împotriva pretenției religioase și a fost un avocat pentru drepturile educaționale ale femeilor, dar s-a opus votului feminin. El credea, de asemenea, că studiile matematice avansate au fost potențial dăunătoare sănătății fizice a unei femei, care era o atitudine omniprezentă față de femei la acea vreme. Din ce în ce mai liberal pe măsură ce a îmbătrânit, a ținut prelegeri de matematică la clase de femei fără taxă și a încurajat femeile, chiar și având în vedere presupusele lor limitări mentale, să-și continue studiile matematice.
Figura 2. Desenul unui student al lui Augustus De Morgan conducând o clasă la University College London. (Această imagine a MS ADD 7 este folosit aici de permisiunea fel de UCL Library Services, Colecții Speciale.)
textele lui De Morgan au fost la fel de remarcabile ca învățătura sa. Peste o sută de ani mai târziu, acestea ar fi în continuare modele excelente de curriculum. Subiectele textelor sale au inclus algebra, trigonometria, calculul diferențial și integral, calculul variațiilor, probabilitatea și logica simbolică. Toate textele sunt clare, interesante și pline de exemple minunate. Printre cele mai bune publicații ale sale s-au numărat un eseu despre probabilități (1838), calcul (1842), logică formală (1847) și algebră dublă (1849), care a prefigurat algebra abstractă. Când nu a lucrat din greu la numeroasele sale articole și cărți—inclusiv o șesime din articolele din celebrul Penny Cyclopaedia pentru care a scris un articol care a definit procesul de inducție matematică-de Morgan a petrecut timp cu cele două mari pasiuni ale sale: cântând la flaut și colectând cărți rare de matematică. Ultimul hobby la ajutat să devină expertul erei sale în istoria matematicii.
în 1837 Augustus De Morgan s-a căsătorit cu Sophia Elizabeth Frend. Casa lor, cu cinci copii, a devenit centrul unui cerc mare de prieteni care s-au întâlnit acolo pentru a împărtăși interese intelectuale. Unul dintre prietenii lui Augustus a fost George Boole, care împreună cu De Morgan a fost pionierul dezvoltării logicii simbolice. Logica formală a lui De Morgan (1847) a intrat în presă în același timp cu lucrarea lui Boole asupra algebrei logicii. Ambele lucrări s-au ocupat de calculul propozițional.
De Morgan este probabil cel mai bine amintit pentru „legile Lui De Morgan”, două teoreme înrudite în logica simbolică și, respectiv, teoria mulțimilor.
logica simbolică: \
teoria mulțimilor: \
Augustus De Morgan ar trebui să fie amintit, ca toți profesorii inspiratori, pentru influența profundă pe care a avut-o asupra elevilor săi; printre care s-au numărat Isaac Todhunter (1820-1884) și James Joseph Sylvester (1814-1897). De asemenea, a îndrumat-o pe Ada Lovelace (1815-1852) și a încurajat-o să-și dezvolte talentele matematice; el a simțit că are un talent matematic superior în comparație cu majoritatea femeilor. El a fost o forță stimulatoare în dezvoltarea profesorilor de matematică și matematică, o forță motrice în dezvoltarea fundamentelor logice ale matematicii și un susținător al modernizării calculului. Un om nepretențios, a evitat diplomele onorifice, apartenența la Societatea Regală și meschinăria politică și religioasă. Viața lui a fost dedicată familiei sale, prietenilor și studenților săi.
notă: Maull & Polyblank ‘ s London photographic studio a fost fondată în 1854. Studioul s-a specializat în portrete ale unor persoane celebre. Cea mai notabilă lucrare a lor, portrete fotografice ale celebrităților VII, a fost publicată în părți din 1856 până în 1859. Acesta a constat din patruzeci de portrete individuale cu biografii, emise abonaților și apoi legate într-un singur volum de către Abonat după ce toate piesele au fost livrate; aceasta a fost o practică populară la acea vreme. Portretele au fost, de asemenea, publicate ca gravuri în Illustrated London News. Înapoi la scurta biografie a lui De Morgan.
Figura 3. De Morgan ‘ s Un eseu despre probabilități (1838). (Din colecția Dr. Sid Kolpas)
Algoritmul lui De Morgan pentru aproximarea Factorialelor
factorialele numerelor întregi joacă un rol important în teoria probabilităților, în special în permutări și combinații. În secolul al 19-lea, fără dispozitive de calcul, aceste factoriale au fost dificil de calculat pentru un număr întreg mare. În eseul său despre probabilități, de Morgan a introdus algoritmul descris în Figura 4, de mai jos, pentru a aproxima \(n!,\) unde \(n\) este un număr întreg. Rețineți că \ ( \ ) este notația lui De Morgan pentru „\(n\) factorial” sau \(n!.\ ) Astfel, în primul paragraf din Figura 4, Când De Morgan a scris”, ” el a însemnat factorialul unui număr întreg pozitiv dat.
Figura 4. Instrucțiunile lui De Morgan pentru aproximarea \(n!\ ) din PP. 15-16 al său un eseu despre probabilități(Cărți Google)
aproximarea lui Stirling de \(n!,\) unde \(n\) este un număr întreg, a fost descoperit de matematicianul scoțian James Stirling (1692-1770). Stirling a publicat cea mai importantă lucrare a sa, Methodus Differentialis, în 1730. Această carte discută despre serii infinite, însumare, interpolare și cuadratură. Următoarea formulă pentru \(n!,\) pentru care Stirling a devenit cunoscut, apare ca exemplul 2 al propoziției 28 Din Methodus Differentialis. Aproximarea lui Stirling afirmă că \
algoritmul lui De Morgan a furnizat instrucțiuni pas cu pas pentru calcularea aproximării la \ (n!\ ) dat de Formula lui Stirling.
Figura 5. Pagina de titlu a lui Stirling Methodus Differentialis(Google Books)
referindu-se la algoritmul lui De Morgan pentru aproximarea \(n!\ ) și menționând că \(0.4342945\) este o aproximare a \(\log_{10} e,\) și \(0,7981799\) este o aproximare a \(\log_{10} (2\ pi),\) avem:
- luați logaritmul de bază 10 al numărului \(n\) și scădeți \(0,4342945\) din acesta: \(\log n – \log e = \log \left(\frac{n}{e}\right).\)
- înmulțiți rezultatul cu\ (n\):\(n \log\stânga (\frac{n}{e} \dreapta)= \log\stânga (\frac{n}{e}\dreapta)^n.\)
- la \(\log n\) adăugați\ (0,7981799\): \(\log n + \log 2 \pi = \log 2n \ pi.\)
- ia jumătate din această sumă: \({\frac{1}{2}}\log 2n\pi = \log \sqrt{2n\pi}.\ )
- adăugați rezultatele etapelor 2 și 4: \
- din moment ce \(\log n!\sim \ log \ sqrt{2n \ pi} \ stânga (\frac{n}{e} \ dreapta)^n,\) atunci \(n!\ sim \ sqrt{2n \ pi} \ stânga (\frac{n}{e} \ dreapta)^n,\) care este Formula lui Stirling.
- această aproximare a \(n!\ ) este un pic prea mic; pentru a-l îmbunătăți, adăugați \({\frac{1}{12N}}\) din el însuși: \
o scrisoare a lui De Morgan referitoare la istoria matematicii
după cum sa menționat mai sus, Augustus De Morgan a contribuit frecvent la Penny Cyclopaedia, contribuind cu peste 700 de articole la cele 27 de volume ale Cyclopaedia, publicate din 1828 până în 1843.
Figura 6. Penny Cyclopaedia, volumul 26, conține un articol de De Morgan despre textul matematic Indian Viga Ganita. (Google Books)
una dintre ultimele intrări ale lui De Morgan în Penny Cyclopaedia a fost un articol intitulat „VIGA GANITA” care a apărut la paginile 318-326 din volumul 26, publicat în 1843 (ușor accesibil prin Google Books). De Morgan a recunoscut la începutul acestui articol că va discuta mult mai mult decât Viga Ganita (acum mai des transliterat ca B-uri sau B-uri), o lucrare de algebră a matematicianului și astronomului Indian din secolul al 12-lea Bhascara (acum cunoscut în general ca BH-uri), despre care se credea mult timp că a trăit și a lucrat la un celebru observator astronomic din Ujjain. Într-adevăr, de Morgan a scris că planul său era să profite de locul literei „V” aproape de sfârșitul alfabetului pentru a raporta cea mai recentă bursă despre „știința astronomică și aritmetică a hindușilor” (p. 318). Este posibil ca așteptarea să nu fi meritat, pentru că ceea ce de Morgan a trebuit să scrie a fost „o relatare a celor mai singulare extreme de opinie” (p. 318) – o poveste a multor dezacorduri în rândul cărturarilor, cel puțin unii dintre ei pe care i-a considerat destul de părtinitori.
în acest articol, De Morgan a dat trei posibilități pentru identitatea și secolul astronomului și matematicianului Indian var Oktokhamihira, care era de interes pentru el, deoarece (p. 320):
scriitorii care sunt cei mai citați de astronomii hinduși poartă numele de Varaha-mihira și Brahmegupta.
se crede acum că var Oquxhamihira a trăit în secolul al VI-lea și Brahmagupta în secolul al VII-lea. Se credea că ambii au trăit și au lucrat în Ujjain la un renumit observator astronomic, așa cum a fost Bhaskara ii secole mai târziu. Cu toate acestea, după cum a raportat Istoricul astronomiei și matematicii indiene Kim Plofker în cartea sa din 2009, matematică în India, nu există dovezi că vreunul dintre cei trei astronomi a trăit în Ujjain sau că a existat chiar un observator astronomic acolo (PP.318-319, 326).
cu toate acestea, ceea ce de Morgan știa în 1843 a fost că Indologul foarte apreciat Henry Thomas Colebrooke și „astronomii de la Ujein” au fost de acord cu datele var Oximahira (și Brahmagupta), dar că alții au plasat var Oximahira cu secole mai devreme sau mai târziu („VIGA GANITA”, p. 320):
din datele sale astronomice, Colebrooke deduce că Varaha-mihira a scris la sfârșitul secolului al V-lea, care este și data atribuită lui de astronomii de la Ujein. … Există un alt Varaha-mihira, pe care aceiași astronomi îl plasează în anul 200 D.hr. Dar tradiția populară îl plasează pe Varaha-mihira în timpul Vicramadytia (56 î.HR.) și numește, după cum se observă în continuare, mai mulți dintre contemporanii săi.
Colebrooke a murit în 1837. Protecțiul său, Horace Hayman Wilson, a devenit primul profesor Boden de sanscrită la Universitatea Oxford în 1832; cu toate acestea, așa cum se arată în Figura 7, de mai jos, Wilson a scris în 1835 că var Oximamihira a trăit în timpul primului secol î. hr.!
Figura 7. Dintr-un Manual de istorie universală și cronologie, pentru utilizarea școlilor (1835), de H. H. Wilson, pagina 25, paragraful 43. Aici, Wilson a plasat var Oktoxhamihira la 56 î.HR. sau puțin mai târziu. „Ougein” a lui Wilson a devenit „Ujein” în articolul lui De Morgan și acum este cunoscut sub numele de Ujjain. (Google Books)
în următoarea scrisoare de la De Morgan către Wilson, De Morgan a încercat să confirme convingerile lui Wilson despre identitatea și secolul lui var Inktokhamihira, probabil pentru articolul său Penny Cyclopaedia înainte de publicarea sa.
figura 8. Scrisoare de la Augustus De Morgan către H. H. Wilson. Rețineți că semnătura lui De Morgan de la sfârșitul scrisorii este identică cu cea de pe cartea de vizită din Figura 1. (Din colecția Dr. Sid Kolpas)
Transcrierea scrisorii lui De Morgan
Domnule
cu multe scuze pentru că v-am tulburat, total necunoscut pentru voi așa cum sunt, îmi iau libertatea de a vă pune o întrebare despre manualul vostru de istorie , o lucrare pe care am consultat-o adesea pentru date orientale și pe care, datorită comodității acelorași date, am recomandat-o ca fiind utilă studentului istoriei matematice în tractul însoțitor al căruia vă implor acceptarea.
pagina 25 43 . Considerați că Varaha-Mihira este scriitorul astronomic al acelui nume, sau cel al acelui nume, a cărui vârstă este discutată de Colebrooke și pe care Bentley și un scriitor francez citat de Delambre îl vor avea (împotriva opiniei lui Colebrook , după cum adun) să fie autorul Surya Siddhanta : sau credeți că există o probabilitate echitabilă ca el să fie același.
rămân Domnule
slujitorul tău credincios
ADeMorgan
69 Gower Street
5 aprilie 1843
nu știm dacă de Morgan a primit un răspuns de la Wilson sau, dacă da, ce a fost. Referirea lui De Morgan la „tradiția populară” în articolul său din Penny Cyclopaedia, mai degrabă decât la Wilson pe nume, poate indica faptul că Wilson s-a îndepărtat de afirmația sa că var Oktihamihira a trăit în jurul anului 56 î.hr.
note despre scrisoarea lui De Morgan și transcrierea ei
Nota 1. Un Manual de istorie universală și cronologie, pentru utilizarea școlilor. H. H. Wilson, ma, Boden profesor de Sanscrit, Oxford. Londra: Whittaker, 1835. Wilson a fost un protecțiu al lui Colebrooke (Vezi nota 4, de mai jos) și a devenit primul profesor Boden de sanscrită la Universitatea Oxford în 1832.
Nota 2. Pasajul dintr-un Manual de istorie universală și cronologie, pentru utilizarea școlilor, de H. H. Wilson, la pagina 25, paragraful 43, este prezentat în Figura 7 de mai sus.
Nota 3. Var (505-587) a fost un astronom, matematician și astrolog Indian.
Nota 4. Henry Thomas Colebrooke (1765-1837) a fost un Indolog englez interesat în special de religie, lingvistică și astronomie. De Morgan a scris în articolul său Cyclopaedia, ” dl. Colebrooke a fost unul dintre cei mai eminenți dintre savanții sanscriți, un neobosit anticar Indian și mai mult decât bine informat în matematică și astronomie” (p. 319). După ce a petrecut peste 30 de ani (1783-1814) în India, Colebrooke s-a întors în Anglia unde a publicat algebră, cu aritmetică și Mensurație, din Sanscrit de Brahmegupta și Bhascara (Londra, 1817) și a cofondat atât Royal Astronomical Society în 1820, cât și Royal Asiatic Society în 1823.
Nota 5. John Bentley a fost un Indolog englez despre care de Morgan a scris disprețuitor în articolul său „VIGA GANITA”. Jean Baptiste Joseph Delambre (1749-1822) a fost un astronom francez celebru, care a scris, de asemenea, cărți despre istoria astronomiei din cele mai vechi timpuri până în secolul al 18-lea.
nota 6. S Oktocrya-Siddh Oktsktnta, un manual de astronomie care discută despre ceea ce numim sinus, cosinus și tangentă, a fost presupus de unii ca fiind una dintre lucrările mai puțin cunoscute ale lui var Oktokhamihira. Plofker (2009) a plasat s Oktocrya-Siddh Inktsnta sau „Sun-treatise” la aproximativ 800 CE, ” compus sau revizuit dintr-o lucrare anterioară cu același nume …. Acest lucru a fost parțial păstrat ” într-o lucrare din secolul al VI-lea a lui var Ouxhamihira (pag. 71).
reveniți la transcrierea scrisorii lui De Morgan
Augustus De Morgan. Un buget de paradoxuri. Londra: Longmans, verde și companie, 1872.
Augustus De Morgan. Un Eseu Despre Probabilități. Londra: Longman, Orme, maro, verde și Longmans și John Taylor, 1838.
,” Viga Ganita”, Penny Cyclopaedia din Societatea pentru difuzarea cunoștințelor utile, vol. 26 (1843), PP.318-326.
Sophia De Morgan. Memoriile lui Augustus De Morgan. Londra: Longmans, verde și companie, 1882.
James Essinger. Algoritmul lui Ada: Cum Fiica Lordului Byron, Ada Lovelace, a lansat era digitală. Londra: Gibson Square Ltd., 2014.
Muzeul J. Paul Getty. „Maull și Polyblank.”
http://www.getty.edu/art/collection/artists/1214/maull-polyblank-british-active-1850s-1860s/
Victor Katz. O istorie a matematicii: o introducere (ediția a 3-a.). Boston: Addison-Wesley, 2009.
New World Encyclopedia contributors, „Henry Thomas Colebrooke,” New World Encyclopedia, Ultima actualizare 24 februarie 2009.
http://www.newworldencyclopedia.org/p/index.php?title=Henry_Thomas_Colebrooke&oldid=935378
J. J. O ‘ Connor și E. F. Robertson. „Augustus De Morgan”, Arhiva MacTutor History of Mathematics, 1996.
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/De_Morgan.html
Kim Plofker. Matematica în India. Princeton: Princeton University Press, 2009.
Adrian Rice. „Ce face un mare profesor de matematică? Cazul lui Augustus De Morgan.”American Mathematical Monthly. Vol. 106, Nr.6 (Iun. – Iulie., 1999), pp.534-552.
Horace Hayman Wilson. Un Manual de istorie universală și cronologie, pentru utilizarea școlilor. Londra: Whittaker și Co., 1835.
