Strings, standing waves and harmonics

Introduction: vibrations, strings, pipes, percussion….

como fazemos sons musicais? Para fazer um som, precisamos de algo que vibre. Se queremos fazer notas musicais, você geralmente precisa da vibração para ter uma frequência quase constante: isso significa passo estável. Também queremos uma frequência que possa ser facilmente controlada pelo jogador. Em instrumentos eletrônicos Isso é feito com circuitos elétricos ou com relógios e memórias. Em instrumentos não eletrónicos, a vibração estável e controlada é produzida por uma onda estacionária. Aqui discutimos a forma como as cordas funcionam. Esta também é uma introdução útil para o estudo de instrumentos de vento, porque as cordas vibrantes são mais fáceis de visualizar do que a vibração do ar em instrumentos de vento. Ambos são menos complicados do que as vibrações das barras e peles da família de percussão. Para a física das ondas estacionárias, existe um tutorial multimídia.

Viajar ondas em cordas

As cordas do violino, piano e assim por diante são esticadas firmemente e vibrar tão rápido que é impossível ver o que está acontecendo. Se você pode encontrar uma mola longa (um brinquedo conhecido como ‘slinky’ funciona bem) ou vários metros de mangueira flexível de borracha você pode tentar algumas experiências divertidas que vai tornar fácil de entender como as cordas funcionam. (Borracha macia é bom para isso, Mangueiras de jardim não são realmente flexíveis o suficiente.) Primeiro segurar ou grampo uma extremidade e, em seguida, segurando a outra extremidade ainda em uma mão, esticar um pouco (não muito, um pouco sag não vai doer). Agora puxa-o para o lado com a outra mão para fazer uma distensão, e depois deixa-o ir. (Isto, em câmara lenta, é o que acontece quando se depila um fio.) Você provavelmente vai ver que o kink viaja pela “corda”, e então ele volta para você. Irá De repente puxar a tua mão para o lado, mas, se a segurares firmemente, irá reflectir novamente.

primeiro você vai notar que a velocidade da onda na corda aumenta se você esticá-la mais firmemente. Isto é útil para afinar instrumentos – mas estamos nos adiantando. Também depende do” peso ” da corda – ela viaja mais lentamente em uma corda grossa e pesada do que em uma corda leve do mesmo comprimento sob a mesma tensão. (Estritamente, é a relação da tensão com a massa por unidade de comprimento que determina a velocidade, como veremos abaixo.)

em seguida, vamos dar uma olhada na reflexão na extremidade fixa. Você vai notar que se você inicialmente puxar a corda para a esquerda, o kink que viaja longe de você é para a esquerda, mas que ele volta como um kink para a direita – o reflexo é invertido. Este efeito é importante não só em instrumentos de cordas, mas também em ventos e Percussão. Quando uma onda encontra uma fronteira com algo que não se move ou muda (ou que não muda facilmente), a reflexão é invertida. (O fato de estar invertida dá deslocamento zero no final. No entanto, a reflexão com qualquer mudança de fase dará uma onda de pé.)

cordas depenadas

se você depenar uma das cordas em uma guitarra ou baixo, você está fazendo algo semelhante, embora aqui a corda é fixa em ambas as extremidades. Você puxa o fio para fora em um ponto, em seguida, liberá-lo como mostrado. A moção que se segue é interessante, mas complicada. O movimento inicial é mostrado abaixo. No entanto, os componentes de alta frequência do movimento (as curvas afiadas na corda) rapidamente desaparecem – e é por isso que o som de uma nota de guitarra torna-se mais suave um segundo ou mais depois de você arrancá-lo.

a sketch of the reflection of travelling kinks caused by plucking a string. Nos instantes representados por (e) E (m), A corda é reta de modo que perdeu a energia potencial associada a puxá-la para os lados, mas tem uma energia cinética máxima. Note-se que, nas reflexões, a fase do kink é alterada em 180°: de cima para baixo ou vice-versa. Observe também como os kinks ‘passam através’ uns dos outros quando se encontram no meio.

por que a reflexão está invertida? Bem, se assumirmos que está presa ou amarrada a um objecto fixo, o ponto de reflexão não se moveu. Mas olhe para o movimento da string comparando os diferentes tempos representados nos esboços da mão esquerda. Note que o texto por trás do kink está se movendo de volta para a posição não perturbada (para baixo no sketch). À medida que o kink se aproxima do fim, ele se torna menor e, quando chega ao fim imóvel, não há nenhum kink em tudo – a cadeia é reta por um instante. Mas a corda ainda tem seu momentum para baixo, e que a carrega para além da posição de repouso, e produz um kink no outro lado, que então se move para trás na outra direção. (The motion of waves in strings is described in more detail in Travelling Waves, which has film clips and animations. Nesta página, no entanto, vamos concentrar-nos nas implicações musicais. )

como mencionado acima, este movimento só é observado imediatamente após a arrancada. À medida que os componentes de alta frequência perdem energia, As fissuras afiadas desaparecem e a forma se aproxima gradualmente do modo fundamental do vibraiton, que discutimos abaixo.

uma corda curvada comporta-se de forma bastante diferente

em primeiro lugar, tem uma fonte contínua de energia, e assim pode manter o mesmo movimento indefinidamente (ou pelo menos até que se esgote a proa. Em segundo lugar, a forma de corda necessária para combinar com o arco em movimento uniforme é diferente.

a sketch of the reflection of travelling kinks caused by bowing a string. Veja a animação e uma explicação do arco-seqüência de interação em Arcos e cordas

Viajar ondas e ondas estacionárias

Um efeito interessante ocorre se você tentar enviar uma simples onda ao longo da cadeia por várias vezes, acenando com uma ponta para cima e para baixo. Se você encontrou uma mola adequada ou mangueira de borracha, experimente. Caso contrário, veja estes diagramas.


a animação mostra a interação de duas ondas, com igual frequência e magnitude, viajando em direções opostas: azul para a direita, verde para a esquerda. A linha vermelha é a sua soma: a onda vermelha é o que acontece quando as duas ondas se juntam (superpose é o termo técnico). Ao parar a animação, você pode verificar que a onda vermelha realmente é a soma das duas ondas que interagem.

a figura à direita é o mesmo diagrama representado como uma sequência de tempo aumenta de cima para baixo. Você poderia pensar nele como representando uma série de fotografias das ondas, tiradas muito rapidamente. A onda vermelha é o que realmente veríamos em tais fotografias.

suponha que o limite da mão direita é uma parede imóvel. Como discutido acima, a onda é invertida na reflexão de modo que, em cada “fotografia”, O azul mais verde adiciona-se a zero no limite da mão direita. A onda refletida (verde) tem a mesma frequência e amplitude, mas está viajando na direção oposta.

na extremidade fixa eles adicionam para não dar movimento-deslocamento zero: afinal, é esta condição de imobilidade que causa a reflexão invertida. Mas se você olhar para a linha vermelha na animação ou no diagrama (a soma das duas ondas) você verá que existem outros pontos onde a corda nunca se move! Ocorrem a meio comprimento de onda. Estes pontos imóveis são chamados nós da vibração, e eles desempenham um papel importante em quase todas as famílias de instrumentos. A meio caminho entre os nós estão antinodos: pontos de movimento máximo. Mas note que esses picos não estão viajando ao longo da corda: a combinação de duas ondas viajando em direções opostas produz uma onda de pé.

isto é mostrado na animação e na figura. Note as posições (nós) onde as duas ondas itinerantes sempre cancelam, e as outras (antinodos) onde elas adicionam para dar uma oscilação com a amplitude máxima.

pode pensar neste diagrama como uma representação (não à escala) do quinto harmónico numa corda cujo comprimento é a largura do diagrama. Isto leva-nos ao próximo tópico.

harmônicos e modos

a corda em um instrumento musical é (quase) fixada em ambas as extremidades, então qualquer vibração da corda deve ter nós em cada extremidade. Isso limita as possíveis vibrações. Por exemplo, a string com comprimento L poderia ter uma onda de pé com comprimento de onda duas vezes maior que a string (comprimento de onda λ = 2L) como mostrado no primeiro sketch na próxima série. Isto dá um nó em cada extremidade e um antinodo no meio.

este é um dos modos de vibração da corda (“modo de vibração” significa apenas estilo ou forma de vibração). Que outros modos são permitidos em uma string fixa em ambas as extremidades? Várias ondas de pé são mostradas no próximo sketch.



a sketch of the first four modes of vibration of an idealised* stretched string with a fixed length. O eixo vertical foi exagerado.

vamos trabalhar as relações entre as frequências destes modos. Para uma onda, a frequência é a razão entre a velocidade da onda e o comprimento da onda: f = v / λ. Comparado com o comprimento de corda L, você pode ver que estas ondas têm comprimentos 2L, L, 2L/3, L/2. Poderíamos escrever isto como 2L / n, onde n é o número da harmônica.

fundamental ou primeiro modo de freqüência f1 = v/λ1 = v/2L,
O segundo harmônico tem de frequência f2 = v/λ2 = 2v/2L = 2f1
O terceiro harmônico tem frequência f3 = v/λ3 = 3v/2L = 3f1,
O quarto harmônico tem frequência f4 = v/λ4 = 4v/2L = 4f1, e, para generalizar,

O n-ésimo harmônico tem frequência fn = v/λn = nv/2L = nf1.

todas as ondas em uma corda viajam com a mesma velocidade, então essas ondas com comprimentos de onda diferentes têm frequências diferentes como mostrado. O modo com a menor frequência (f1) é chamado de fundamental. Note que o modo n-ésimo tem frequência n vezes a do fundamental. Todos os modos (e os sons que eles produzem) são chamados de harmônicos da cadeia. As frequências f, 2f, 3f, 4f etc são chamadas de série harmônica. Esta série será familiar para a maioria dos músicos, particularmente para corneteiros e jogadores de chifres naturais. Se, por exemplo, a fundamental é a nota C3 ou viola C (uma frequência nominal de 131 Hz: veja esta ligação para uma tabela), então as harmônicas teriam os pitches mostrados na figura seguinte. Estes lançamentos foram aproximados ao tom de Quarto mais próximo. As oitavas são exatamente oitavas, mas todos os outros intervalos são ligeiramente diferentes dos intervalos na mesma escala temperada.

a figura mostra a notação musical para os primeiros doze harmônicos em uma corda C. Quando você tocar o arquivo de som, ouça com atenção o lançamento. A sétima e décima primeira harmônicas caem a meio caminho entre as notas da mesma escala temperada, e assim foram notadas com meia sharps.

Você pode produzir estes campos estendido cadeia: é mais fácil na baixa cordas de um violão, violoncelo, baixo*. Toque a corda levemente em um ponto 1 / n de seu comprimento a partir da extremidade (onde n é 1, 2, 3 etc), em seguida, curvar a corda perto do fim. Alternativamente, toque a corda muito levemente em um ponto 1 / n de seu comprimento a partir da extremidade, arrancar a corda perto do fim e liberar o primeiro dedo assim que você tiver arrancado. Tocar a cadeia produz um nó onde você toca, e assim você excita (principalmente) o modo que tem um nó lá. Você vai descobrir que você pode tocar cornetas usando harmônicas de dois a seis de uma corda.

(*se você acabou de fazer esta experiência, você pode ter notado algumas peculiaridades. A décima segunda Trasta, que é usada para produzir a oitava, é menos de metade do comprimento da corda, e assim a posição onde você toca a corda para produzir a segunda harmônica – a meio caminho ao longo da corda – não está diretamente acima da trava da oitava. Eu disse” idealizado ” string acima, significando uma string que é completamente flexível e assim pode dobrar facilmente em cada extremidade. Na prática, as cordas têm uma rigidez de flexão finita e assim seu comprimento efetivo (o “L” que deve ser usado nas fórmulas acima) é um pouco menos do que seu comprimento físico. Esta é uma das razões pelas quais as cordas maiores geralmente têm um enrolamento sobre um núcleo fino, Por que a ponte está geralmente em um ângulo que dá às cordas mais gordas comprimentos mais longos e por que a corda (sólida) G em uma guitarra clássica tem uma afinação pobre nas trastes mais altas. Há também um efeito devido ao alongamento extra de uma corda quando ela é empurrada para baixo para o fingerboard, um efeito que é considerável em cordas de aço.)

um exercício para guitarristas. Em uma guitarra sintonizada da maneira usual, a corda B e a corda e alta são aproximadamente sintonizadas para a terceira e quarta harmônicas da corda e baixa. Se você arrancar a corda e baixa em qualquer lugar, exceto um terço do caminho ao longo, a corda B deve começar a vibrar, impulsionado pelas vibrações na ponte a partir da harmônica da primeira corda. Se você arrancar a corda e baixa em qualquer lugar, exceto um quarto do caminho ao longo, a corda e superior deve ser conduzido da mesma forma.

afinação harmônica nas guitarras

guitarristas muitas vezes começam a afinar da seguinte forma: primeiro Afine a 4ª harmônica da corda e baixa, o 3 ° da corda A e o top e tudo para a mesma nota. A figura à direita mostra a série harmônica nas duas cordas mais baixas. em seguida, eles afinam a corda B (B3) para o terceiro harmônico do primeiro (E2); em seguida, afine o quarto harmônico da corda A para o terceiro da corda D. Este método não pode ser estendido succesfully à Corda G Porque é geralmente muito espessa e rígida, assim que é melhor sintonizado por oitavas, usando os trastes. Por várias razões (veja as notas no final desta página), este método de afinação é apenas aproximado, e é preciso voltar a ajustar as oitavas depois. A melhor afinação é geralmente um compromisso que deve ser feito depois de considerar que acordes você estará jogando e onde você está jogando na tabela de dedos.

afinação de guitarra por harmónicas. (Estes são lançamentos reais): a música de guitarra é geralmente transposta para cima de uma oitava.)

harmônicos na música

os compositores frequentemente invocam tais harmônicos em instrumentos de cordas: o mais comum é o “touch fourth”. Com um dedo, o jogador pára a corda para produzir o comprimento necessário para uma nota particular, e então, usando outro dedo, toca a corda muito levemente na posição necessária para a nota quatro notas mais altas na escala (daí o nome). Esta posição é um quarto do caminho ao longo da corda, por isso produz a quarta harmônica da nota parada. A quarta harmônica tem quatro vezes a frequência fundamental, assim como duas oitavas mais alta. Para string players, as harmônicas são chamadas de “naturais”; quando elas são tocadas em strings abertas e” artificiais”; se o jogador deve parar a string. O diagrama mostra como um toque natural quarto é tocado, e a notação para o toque quarto no violino uma corda. O eixo vertical do diagrama foi exagerado para maior clareza.


Abra uma corda tocada normalmente, em seguida, o toque em quarto nesta corda (4ª harmónica)

a altura de uma nota é determinada pela rapidez com que a corda vibra. Isso depende de quatro coisas.:

• mais espessa, mais cordas maciças vibram mais lentamente. Em violinos, guitarras etc, O comprimento Aberto da corda não muda, e geralmente a tensão não muda muito também (eles são todos sobre igualmente difícil de empurrar para baixo). Então as cordas agudas são mais grossas.
• a frequência aumenta com a tensão na cadeia. É assim que você afina o instrumento, usando cabeças de máquina ou cavilhas de afinação: mais apertado dá mais Altura.
• o comprimento da corda que é livre para vibrar também é importante. Quando você parar uma corda contra o dedo de um violoncelo, por exemplo, você encurta o comprimento efetivo e assim elevar a altura.
• você também pode mudar o passo alterando o modo de vibração. Quando você toca harmônicas, você induz a corda a produzir ondas que são uma fração do comprimento daqueles normalmente produzidos por uma corda desse comprimento.

  podemos colocar tudo isso em uma expressão simples. Se a parte vibratória da corda tem um comprimento L e uma massa M, se a tensão na corda é F E se você toca a nth harmônica, então a frequência resultante é

  fn = (N/2L) (FL/M)1/2 = (N/2) (F / LM)1/2.

  em instrumentos como o violino e a guitarra, o comprimento aberto e a tensão são bastante semelhantes para todas as cordas. Isso significa que, para fazer uma corda uma oitava menor, mantendo o mesmo comprimento, você deve quadruplicar a razão M/L. Se as cordas são feitas do mesmo material, isso significa dobrar o diâmetro. No entanto, as cordas de gordura são geralmente compostas: um núcleo fino envolto em enrolamentos para torná-los mais maciços sem torná-los mais difíceis de dobrar. Vamos ver de onde vem esta expressão. A onda percorre uma distância λ num período T da vibração, por isso v = λ/T. a frequência f = 1/T = v/λ. Então f = v / λ. Também vimos que, para a frequência fundamental f1, o comprimento da cadeia É λ/2, então f1 = v/2L. a velocidade da onda é determinada pela tensão da cadeia F e a massa por unidade de comprimento ou densidade linear μ = M/L, v = (F/μ)1/2 = (FL/M)1/2. So f1 = ½ (F/LM)1/2. Multiplicando ambos os lados por n dá as frequências das harmônicas citadas acima.

  podemos reorganizar isto para dar a tensão da corda: F = 4f12LM.

complicações com afinação harmônica

existem vários problemas com qualquer afinação de guitarra, incluindo o uso de harmônicas sugeridas acima.

a aproximação mais óbvia está relacionada ao temperamento: se as cordas de guitarra foram ideal e os trastes idealmente espaçadas para o temperamento igual, a sintonia harmônica quartos para o endereço de E-Um e Um-D pares, e mais dois de igual temperado semitons na corda D, faria o intervalo entre o menor e e 2º traste na corda D cerca de 4 centavos de televisão ((4/3)222/12=1.996). Isso levaria a batidas de interferência a taxas de ordem um a cada vários segundos.

outra complicação óbvia com afinação harmônica é que as cordas não se dobram com total facilidade sobre a porca e Ponte (como discutido acima). Veja também como harmônicas são harmônicas. Como resultado, o primeiro toque em uma corda é ligeiramente mais afiado do que uma oitava, o próximo ainda mais afiado do que um duodécimo, e assim por diante. Assim, sintonizar o quarto ‘harmônico’ da corda E para o terceiro da corda A faz com que o seu intervalo aberto seja mais do que um quarto harmônico. Então isso tende a compensar o problema do temperamento.

um outro problema tem a ver com a colocação de fret e Ponte. Quando você pressiona uma corda para baixo na décima segunda traste, você aumenta o seu comprimento. (Antes de pressioná-lo, a distância mais curta entre nut e bridge. Depois é mais longo.) Para alongá-lo, você aumentou sua tensão. Por causa disso, e também por causa do efeito de flexão no final da corda, se a 12ª trava estivesse a meio caminho entre a porca e a ponte, o intervalo seria maior que uma oitava. (Você pode verificar isso experimentalmente em um instrumento livre. Consequentemente, a distância entre a ponte e a décima segunda traste é maior do que a da noz à décima segunda traste. O efeito difere entre as cordas. Em algumas guitarras elétricas, ajuste individual da posição de cada ponte é possível. Em outras guitarras, a ponte é colocada em um ângulo. Em uma guitarra clássica, a ponte simples reta requer algum compromisso na afinação.

os efeitos acima são medidas difíceis experimentalmente com a precisão necessária: os efeitos são apenas alguns centavos, o que não é muito maior do que a precisão das orelhas ou metros de afinação quando aplicado a uma corda de arrancar. Além disso, é difícil ajustar cabeças de máquinas para alcançar uma precisão melhor do que um par de centavos. Por outro lado, se você começar todas as notas em sintonia dentro de um par de centavos, você está fazendo melhor do que a maioria dos músicos e vai soar muito bom!

existem outros problemas quando as cordas envelhecem. Onde você os dedos com a mão esquerda, eles pegam graxa e se tornam mais massivos (embora eles também podem perder material onde eles esfregam em trastes). Eles também podem usar onde você escolhê-los. À medida que as cordas se tornam inomogéneas, a afinação piora sucessivamente. Lavá-los pode ajudar.

a maneira de contornar a maioria destes problemas é tocar instrumentos sem fretless, mas isso torna os acordes mais constrangedores.

A escala de posições em apenas entonação. O toque em 2/9 é mais seguro do que em 1/9, mas não cai acima de qualquer posição de nota de escala: está um pouco acima do terço menor. Violistas ou violoncelistas ensaiando “Practicing Infinity” (sic) de Radulescu são convidados a escrever para mim para mais sugestões sobre técnicas para harmônicas altas.

Ver também como harmónicas são harmónicas?

Harp acoustics

the only work we have done on harps is described here.

mais informações

• ondas de pé e ondas Itinerantes de Physclips têm clipes e animações.
• Arcos e cordas (uma introdução simples a essa interação).
• estudos de violino (mais informações sobre os nossos estudos sobre violinos).Padrões de Chladni (resultados experimentais que mostram a vibração das placas de violinos).
• Articulation and vibrato on the violin and their importance to the violin sound(s).
• Violin acoustics: an overview (a simple introduction to violin acoustics).
• the research papers of John McLennan, PhD student in Music Acoustics at UNSW.
• An introduction to flauta acoustics (with a discussion of harmonics in an air column).