teoria dos nós

teoria dos nós, em matemática, o estudo de curvas fechadas em três dimensões, e suas possíveis deformações sem uma parte cortando através de outra. Nós podem ser considerados como formados por entrelaçamento e looping de um pedaço de corda de qualquer forma e, em seguida, unindo as extremidades. A primeira questão que se coloca é se tal curva é realmente enroscada ou pode simplesmente ser desengordurada; isto é, se a pessoa pode ou não deformá-la no espaço em uma curva padrão desconhecida como um círculo. A segunda questão é se, de um modo mais geral, quaisquer duas curvas dadas representam nós diferentes ou são realmente o mesmo nó no sentido de que um pode ser continuamente deformado no outro.

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a ferramenta básica para classificar nós consiste em projetar cada nó em um plano—imagem da sombra do nó sob uma luz—e contando o número de vezes que a projeção se cruza, notando em cada cruzamento que direção vai “sobre” e que vai “sob.”Uma medida da complexidade do nó é o menor número de cruzamentos que ocorrem quando o nó é movido de todas as formas possíveis. O nó verdadeiro mais simples possível é o nó de trefoil, ou nó sobre-mão, que tem três cruzamentos; a ordem deste nó é, portanto, denotada como três. Mesmo este nó simples tem duas configurações que não podem ser deformadas umas nas outras, embora sejam imagens espelhadas. Não há nós com menos cruzamentos, e todos os outros têm pelo menos quatro.

o número de nós distinguíveis aumenta rapidamente à medida que a ordem aumenta. Por exemplo, há quase 10.000 nós distintos com 13 cruzamentos, e mais de um milhão com 16 cruzamentos—o mais alto conhecido até o final do século XX. Certos nós de ordem superior podem ser resolvidos em combinações, chamados produtos, de nós de ordem inferior; por exemplo, o nó quadrado e o nó granny (nós de sexta ordem) são produtos de duas trefílias que são do mesmo ou oposto chirality, ou handedness. Nós que não podem ser tão resolvidos são chamados prime.Os primeiros passos para uma teoria matemática dos nós foram dados por volta de 1800 pelo matemático alemão Carl Friedrich Gauss. As origens da teoria moderna dos nós, no entanto, derivam de uma sugestão do matemático-físico escocês William Thomson (Lord Kelvin) em 1869 de que os átomos podem consistir de tubos de vórtice pontilhados do éter, com diferentes elementos correspondentes a diferentes nós. Em resposta, um contemporâneo, o matemático-físico escocês Peter Guthrie Tait, fez a primeira tentativa sistemática de classificar nós. Embora a teoria de Kelvin tenha sido rejeitada juntamente com éter, a teoria dos nós continuou a se desenvolver como uma teoria puramente matemática por cerca de 100 anos. Em seguida, um grande avanço pelo matemático Neozelandês Vaughan Jones em 1984, com a introdução dos polinômios de Jones como invariantes de novos nós, levou o físico estadunidense Edward Witten a descobrir uma conexão entre a teoria dos nós e a teoria quântica de campos. (Ambos os homens receberam medalhas Fields em 1990 por seu trabalho.) Em outra direção, o matemático americano William Thurston fez uma importante ligação entre a teoria dos nós e a geometria hiperbólica, com possíveis ramificações na cosmologia. Outras aplicações da teoria dos nós foram feitas em biologia, química e Física Matemática.