 |
 |
Figura 1. Carte de visite (cartão de visita) por volta de 1866 de Augustus De Morgan, assinou “ADeMorgan” por ele. Fotografia de Maull e Polyblank (Ver nota). (Da coleção do Dr. Sid Kolpas)
uma breve biografia
Augustus De Morgan (1806-1871) foi um dos mais influentes e bem sucedidos professores de matemática do século XIX. Tanto pelos padrões contemporâneos como atuais, ele era um professor extraordinário. De acordo com Adrian Rice, no artigo, ” O que faz um grande professor de matemática? O caso de Augustus De Morgan,” ele foi um exemplo de um grande professor de matemática, um que instilou um amor e entusiasmo pelo assunto em seus alunos, tendo assim um profundo efeito sobre eles, mesmo que eles nunca prosseguiram uma carreira em matemática. A evidência dessa opinião vem dos comentários sobreviventes dos estudantes de Morgan, e de alguns matemáticos renomados que foram influenciados por seu ensino. Ele possuía aquela rara combinação de discernimento, humor e criatividade. Suas palestras eram concisas e lúcidas; ao contrário de muitos de seus pares, ele se importava que seus alunos fossem estimulados, desafiados, inspirados e cuidadosamente instruídos com planejamento e Pedagogia. Ele odiava os exames competitivos e a falta de compartilhamento de conhecimento que resultou deles (um problema atual em nossas escolas); ele era a favor da aprendizagem cooperativa. Os alunos relataram que suas palestras eram ricas em humor, aplicações a outras disciplinas, referências para estudos adicionais e amor a seu assunto. Mesmo o mais abstrato dos conceitos foi deixado claro através de seu brilhante uso de analogia, metáfora e simile.De Morgan nasceu em Madura, Índia. Ele foi educado em escolas privadas até sua entrada no Trinity College, Cambridge, aos dezesseis anos de idade. Era um excelente aluno, próximo do melhor da turma. No entanto, ele optou por não obter o grau M. A., ou para competir por uma bolsa de estudos por causa de sua objeção consciente aos testes religiosos que eram exigidos de candidatos em Cambridge. Em 1828, por mérito de sua realização acadêmica, ele recebeu uma nomeação como professor de matemática na recém-formada Universidade de Londres (que se tornou University College London). Ele ensinaria lá por mais de 30 anos, inspirando gerações de estudantes. As gerações seguintes de seus alunos se referiam a ele como” Gussy ” – a figura de cabeça dura que espreitava através de óculos de ouro, que os ensinaria apaixonadamente matemática.
sua reputação cresceu por causa de seu ensino notável, encorajador, carinhoso e seus artigos sobre tópicos de ponta, quebra-cabeças matemáticos, jogos, oddities e paradoxos; de Morgan foi o Martin Gardner do século XIX. O amor de Morgan por quebra-cabeças matemáticas e histórias levou, postumamente, à publicação de seu orçamento de paradoxos (1872); ele ainda está impresso. Enquanto ele era um homem de natureza gentil, ele também era um homem de forte convicção. Ele lutou contra pretensões religiosas, e foi um defensor dos direitos educacionais das mulheres, mas se opôs ao sufrágio feminino. Ele também acreditava que estudos matemáticos avançados eram potencialmente prejudiciais para a saúde física de uma mulher, que era uma atitude invasiva para com as mulheres na época. Cada vez mais liberal à medida que envelhecia, lecionava matemática para classes de mulheres sem carga e encorajava as mulheres, mesmo dadas suas supostas limitações mentais, a continuar com seus estudos matemáticos.
Figura 2. A student’s drawing of Augustus De Morgan leading a class at University College London. (Esta imagem do MS ADD 7 é usada aqui por espécie de permissão de serviços de biblioteca UCL, Coleções Especiais.)
os textos de Morgan foram tão notáveis quanto o seu ensino. Mais de cem anos depois, eles ainda seriam excelentes modelos de currículo. Os tópicos de seus textos incluíam álgebra, trigonometria, cálculo diferencial e integral, o cálculo de variações, probabilidade e lógica simbólica. Todos os textos são claros, interessantes e cheios de exemplos maravilhosos. Entre suas melhores publicações estavam um ensaio sobre probabilidades (1838), cálculo (1842), lógica Formal (1847) e Álgebra Dupla (1849), que prenunciava álgebra abstrata. Quando ele não estava trabalhando duro em seus muitos artigos e livros—incluindo um sexto dos artigos na famosa Penny Cyclopaedia para o qual ele escreveu um artigo que definia o processo de indução matemática-de Morgan passou tempo em suas duas grandes paixões: tocar flauta e coletar livros de matemática raros. O último hobby ajudou – o a se tornar o especialista de sua era sobre a história da matemática.Em 1837, Augusto de Morgan casou-se com Sofia Elizabeth Frend. Sua casa, com cinco filhos, tornou-se o centro de um grande círculo de amigos que se encontraram lá para compartilhar interesses intelectuais. Um dos amigos de Augustus foi George Boole, que junto com De Morgan foi pioneiro no desenvolvimento da lógica simbólica. A lógica Formal de De Morgan (1847) foi para a imprensa ao mesmo tempo que o trabalho de Boole sobre a álgebra da lógica. Ambos os trabalhos tratavam do cálculo proposicional.
de Morgan perhaps is best remembered for” de Morgan’s Laws, ” two related theorems in symbolic logic and set theory, respectively.
lógica simbólica: \
teoria dos conjuntos: Augustus De Morgan deve ser lembrado, como todos os professores inspiradores, pela profunda influência que teve em seus alunos, entre os quais estavam Isaac Todhunter (1820-1884) e James Joseph Sylvester (1814-1897). Ele também instruiu Ada Lovelace (1815-1852), e encorajou-a a desenvolver seus talentos matemáticos; ele sentiu que ela tinha um talento matemático superior em comparação com a maioria das mulheres. Ele foi uma força estimulante no desenvolvimento de professores de matemática e matemática, uma força motriz no desenvolvimento dos fundamentos lógicos da matemática, e um proponente da modernização do cálculo. Um homem despretensioso, ele evitou graus honorários, membros da Royal Society, e mesquinhez política e religiosa. Sua vida era dedicada a sua família, seus amigos e seus alunos.
Nota: Maull & Polyblank’s London photographic studio was founded in 1854. O estúdio especializou-se em retratos de pessoas famosas. Seu trabalho mais notável, retratos fotográficos de Celebridades Vivas, foi publicado em partes de 1856 a 1859. Ele consistia de quarenta retratos individuais com biografias, emitidos para assinantes e, em seguida, ligado em um único volume pelo Assinante depois de todas as partes foram entregues; esta era uma prática popular na época. Os retratos também foram publicados como gravuras no Illustrated London News. Retorno à breve biografia de De Morgan.
Figura 3. De Morgan’s An Essay On Probabilities (1838). (Da coleção do Dr. Sid Kolpas)
de Morgan’s Algorithm for Approximating Factorials
Factorials of whole numbers play an important role in probability theory, particularly in permutations and combinations. Durante o século XIX, sem calcular dispositivos, estes factoriais eram difíceis de calcular para grandes números inteiros. Em seu ensaio sobre probabilidades, de Morgan introduziu o algoritmo descrito na Figura 4, abaixo, para aproximar \(n!,\) onde \(n\) é um número inteiro. Note que \ ( \ ) é a notação de De Morgan para “\(n\) factorial” ou \(n!.\ ) Assim, no primeiro parágrafo da Figura 4, Quando De Morgan escreveu”, ” ele quis dizer o fatorial de um dado inteiro positivo.
Figura 4. As instruções de Morgan para aproximar \(n!\ ) from pp. 15-16 of his An Essay On Probabilities (Google Books)
Stirling’s approximation of \(n!,\) onde \(n\) é um número inteiro, foi descoberto pelo matemático escocês James Stirling (1692-1770). Stirling publicou seu trabalho mais importante, Methodus Differentialis, em 1730. This book discusses infinite series, summation, interpolation, and quadrature. A seguinte fórmula para \(n!,\) para o qual Stirling se tornou conhecido, aparece como exemplo 2 da proposição 28 do diferenciais de Methodus. A aproximação de Stirling afirma que \
o algoritmo de Morgan forneceu instruções passo-a-passo para computar a aproximação a \(n!\ ) dada pela fórmula de Stirling.
Figura 5. Title page of Stirling’s Methodus Differentialis(Google Books)
Referring to de Morgan’s algorithm for approximating \(n!) e notando que \(0.4342945\) é uma aproximação de \(\log_{10} e,\) e \(0.7981799\) é uma aproximação de \(\log_{10} (2\pi),\) nós temos:
- tome o logaritmo de base de 10 do número \(n\), e subtraia \(0, 4342945\) dele: \(\log n – \log e = \log \esquerda(\frac{n}{e}\direita).\)
- multiplique o resultado por \(n\): \(n\log \esquerda (\frac{n}{e}\direita)= \log \esquerda(\frac{n}{e}\Direita)^n.\)
- a \(\log n\) adicione \(0. 7981799\): \(\log n + \log 2\pi = \log 2n\pi.\)
- tome metade desta soma: \({\frac{1}{2}}}\log 2n\pi = \log \sqrt{2n\pi}.\ )
- adicione os resultados do 2º e 4º passos: \
- desde \(\log n!\sim \log \sqrt{2n\pi}\left (\frac{n}{e}\right)^n,\) then \(n!\sim \sqrt{2n\pi}\left (\frac{n}{e}\right)^n,\) que é a fórmula de Stirling.
- esta aproximação de \(n!\ ) é um pouco pequeno demais; para melhorá-lo, adicione \({\frac{1}{12n}\) dele para si próprio: \
a Letter of De Morgan Concerning History of Mathematics
As noted above, Augustus De Morgan was a frequent contributor to the Penny Cyclopaedia, contributing over 700 articles to the 27 volumes of the Cyclopaedia, published from 1828 to 1843.
Figura 6. The Penny Cyclopaedia, Volume 26, contains an article by De Morgan about the Indian mathematical text Viga Ganita. (Google Books)
uma das últimas entradas de Morgan na Penny Cyclopaedia foi um artigo intitulado “VIGA GANITA”, que apareceu nas páginas 318-326 do Volume 26, publicado em 1843 (facilmente acessível através do Google Books). De Morgan admitiu no início deste artigo que ele iria discutir muito mais do que apenas a Viga Ganita (agora mais frequentemente transliterada como Bījagaṇita ou Bīja-gaṇita), um trabalho de álgebra pelo matemático e astrônomo Indiano Bhascara do século XII (agora geralmente conhecido como Bhāskara II), que se acreditava ter vivido e trabalhado em um famoso Observatório Astronômico em Ujjain. Na verdade, de Morgan escreveu que seu plano era tirar proveito do lugar da letra “V” perto do final do alfabeto para relatar a mais recente bolsa de estudos sobre a “ciência astronômica e aritmética dos Hindus” (P. 318). A espera pode não ter valido a pena, porque o que de Morgan teve de escrever foi “um relato dos extremos de opinião mais singulares” (P. 318) – um conto de muita discordância entre os estudiosos, pelo menos alguns dos quais ele considerava bastante tendenciosos.
neste artigo, de Morgan deu três possibilidades para a identidade e século do astrônomo e matemático indiano Varāhamihira, que era de interesse para ele porque (p. 320):
os escritores mais citados pelos astrônomos hindus têm os nomes de Varaha-mihira e Brahmegupta.Acredita-se Agora que Varāhamihira viveu durante o século VI e Brahmagupta durante o século VII. Acredita-se que ambos tenham vivido e trabalhado em Ujjain em um famoso Observatório Astronômico, como Bhaskara II séculos depois. No entanto, como o historiador da astronomia e matemática Indiana Kim Plofker relatou em seu livro de 2009, Matemática na Índia, não há nenhuma evidência de que qualquer um dos três astrônomos viveu em Ujjain ou que havia até mesmo um observatório astronômico lá (pp. 318-319, 326).
no entanto, o que de Morgan sabia em 1843 foi que o altamente conceituado Indologista Henry Thomas Colebrooke e os “astrônomos em Ujein” concordaram com as datas de Varāhamihira (e Brahmagupta), mas que outros colocaram Varāhamihira séculos antes ou mais tarde (“VIGA GANITA”, P. 320).:
a partir de seus dados astronômicos, Colebrooke infere que Varaha-mihira escreveu no final do século V, que é também a data atribuída a Ele pelos astrônomos em Ujein. … Há outro Varaha-mihira, que os mesmos astrônomos colocam em 200 d. C. Mas a tradição popular coloca Varaha-mihira no tempo de Vicramaditia (B. C. 56), e nomes, como de seguida se notou, vários de seus contemporâneos.Colebrooke morreu em 1837. Seu protegido Horace Hayman Wilson tornou-se o primeiro professor Boden de sânscrito na Universidade de Oxford em 1832.; no entanto, como mostrado na Figura 7, abaixo, Wilson escreveu em 1835 que Varāhamihira viveu durante o primeiro século A. C.!
Figura 7. From A Manual of Universal History and Chronology, for the Use of Schools (1835), by H. H. Wilson, page 25, paragraph 43. Aqui, Wilson colocou Varāhamihira em 56 a. C. ou um pouco mais tarde. “Ougein” de Wilson tornou-se “Ujein” no artigo de Morgan e agora é conhecido como Ujjain. (Google Books)
na seguinte carta de Morgan para Wilson, de Morgan tentou confirmar as crenças de Wilson sobre a identidade e século de Varāhamihira, provavelmente por seu artigo Penny Cyclopaedia antes de sua publicação.
Figura 8. Carta de Augustus De Morgan para H. H. Wilson. Note – se que a assinatura de Morgan no final da carta é idêntica à do cartão de visita na Figura 1. (Da coleção do Dr. Sid Kolpas)
Transcription of de Morgan’s Letter
Sir
With many apologies for perturbing you, wholly unknown to you as I am, I take the liberty of asking you a question on your manual of history , a work which I have often consulted for oriental dates, and which I have, on account of the convenience of these same dates, recommended as useful to the student of mathematical history in the tract accompanying of which I beg your acceptance.
Page 25 43 . Você considera Varaha-Mihira como o escritor astronômico desse nome, ou aquele desse nome, cuja idade é discutida por Colebrooke, e quem Bentley e um escritor francês Citado por Delambre terá (contra a opinião de Colebrook, como eu suponho) para ser o autor da Siddhanta Surya : ou você acha que há uma probabilidade justa de ele ser o mesmo.Não sabemos se de Morgan recebeu uma resposta de Wilson ou, em caso afirmativo, o que foi. A referência de Morgan à” tradição popular ” em seu artigo na Penny Cyclopaedia ao invés de Wilson pelo nome pode indicar que Wilson recuou de sua afirmação de que Varāhamihira viveu por volta de 56 a. C.
Notes on de Morgan’s Letter and Its Transcription
Nota 1. Um Manual de História Universal e cronologia, para o uso de Escolas. H. H. Wilson, M. A., Boden Professor of Sanscrit, Oxford. London: Whittaker, 1835. Wilson foi um protegido de Colebrooke (Ver nota 4, abaixo) e tornou-se o primeiro Professor de sânscrito de Boden na Universidade de Oxford em 1832.
Nota 2. A passagem de um Manual de História Universal e cronologia, para o uso das escolas, por H. H. Wilson, na página 25, parágrafo 43, é mostrada na Figura 7 acima.
Nota 3. Varāhamihira (505-587) foi um astrônomo, matemático e astrólogo indiano.
Nota 4. Henry Thomas Colebrooke (1765-1837) foi um Indólogo inglês especialmente interessado em religião, linguística e astronomia. De Morgan escreveu em seu artigo Cyclopaedia, ” Mr. Colebrooke foi um dos mais eminentes estudiosos do sânscrito, um incansável antiquário indiano, e mais do que bem informado em matemática e astronomia” (P. 319). Depois de passar mais de 30 anos (1783-1814) na Índia, Colebrooke retornou à Inglaterra onde publicou álgebra, com aritmética e mensuração, do sânscrito de Brahmegupta e Bhascara (Londres, 1817) e co-fundou tanto a Royal Astronomical Society em 1820 e a Royal Asiatic Society em 1823.
Nota 5. John Bentley era um Indólogo inglês de quem De Morgan escreveu depreciativamente em seu artigo” VIGA GANITA”. Jean Baptiste Joseph Delambre (Paris, 1749-Paris, 1822) foi um astrônomo francês.
Nota 6. O Sūrya-Siddhānta, um manual de astronomia que discute o que chamamos seno, coseno e tangente, foi assumido por alguns como uma das obras menos conhecidas de Varāhamihira. Plofker (2009) colocou o Sūrya-Siddhānta ou “sun-treatise” em cerca de 800 d. C., “composto ou revisado de uma obra anterior de mesmo nome… Este Sūrya-Siddhānta anterior foi parcialmente preservado ” em uma obra do século VI de Varāhamihira (p. 71).
Return to transcription of de Morgan’s letter
Augustus De Morgan. Um orçamento de paradoxos. London: Longmans, Green And Company, 1872.Augustus De Morgan. Um Ensaio Sobre Probabilidades. London: Longman, Orme, Brown, Green and Longmans, and John Taylor, 1838.
, “Viga Ganita,” Penny Cyclopaedia of the Society for the Diffusion of Useful Knowledge, vol. 26 (1843), pp. 318-326.
Sophia De Morgan. Memórias de Augustus De Morgan. London: Longmans, Green And Company, 1882.
James Essinger. Algoritmo de Ada: Como a filha de Lord Byron, Ada Lovelace, lançou A Era Digital. London: Gibson Square Ltd., 2014.
O Museu J. Paul Getty. “Maull and Polyblank.”
http://www.getty.edu/art/collection/artists/1214/maull-polyblank-british-active-1850s-1860s/Victor Katz. A History of Mathematics: An Introduction (3rd ed.). Boston: Addison-Wesley, 2009.
New World Encyclopedia contributors, “Henry Thomas Colebrooke,” New World Encyclopedia, last updated 24 February 2009.
http://www.newworldencyclopedia.org/p/index.php?title=Henry_Thomas_Colebrooke&oldid=935378J. J. O’Connor and E. F. Robertson. “Augustus De Morgan,” MacTutor History of Mathematics Archive, 1996.
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/De_Morgan.htmlKim Plofker. Matemática na Índia. Princeton: Princeton University Press, 2009.
Adrian Rice. “O que faz um grande professor de matemática? O caso de Augustus De Morgan.”The American Mathematical Monthly. Volume. 106, No. 6 (Jun. – Julho., 1999), pp. 534-552.
Horace Hayman Wilson. Um Manual de História Universal e cronologia, para o uso de Escolas. London: Whittaker and Co., 1835.
