isso realmente depende do que você quer dizer com “infinito”. Se você quer dizer $\infty$, então isso não é um número, mas sim uma estenografia para o conceito de que alguma quantidade (geralmente um número natural ou real) cresce além de qualquer limite finito. Como tal, você não pode multiplicá-lo com nada, e especialmente não por si mesmo. Existem, no entanto, vários sistemas aritméticos que têm elementos maiores que qualquer soma finita da forma $1+1+\cdots +1$, e assim merecem ser chamados infinitos em tamanho. Eu vou lhe contar sobre três deles (ligeiramente simplificado, mas espero que não diretamente incorreto).
o primeiro é o Cardinal. Eles significam o quão grande é algo (um conjunto). Um cardinal finito é apenas um número natural (significando “o tamanho de um conjunto com que muitos elementos”), mas também há cardeais ininitas. O menor cardinal infinito é $\aleph_0$, o tamanho do conjunto de números natruais.
a adição de cardeais funciona da maneira que você esperaria que a adição de tamanhos funcionasse, ou seja, colocar os dois conjuntos ao lado um do outro, e contar quantos elementos existem no total. Mais especificamente, se você tiver dois números cardinais $\kappa_1, \kappa_2$, cada um significando o tamanho de dois conjuntos $X_1, X_2$ e, em seguida, o cardeal $\kappa_1+\kappa_2$ é a cardinalidade de a disjuntos união $X_1\sqcup X_2$, ou equivalentemente, que o conjunto de pares de $(x_i, i)$, onde $x_i \no X_i$ e $i \in \{1, 2\}$.
multiplicação dos Cardeais funciona da seguinte forma:: $\kappa_1\cdot\kappa_2$ é o tamanho do conjunto $X_1\vezes X_2$, o conjunto de pares $x_1, x_2$ com $x_1\em X_1$ e $x_2\em X_2$. Se o maior de $\kappa_1$ e $\kappa_2$ é infinito, então $\kappa_1+\kappa_2 = \kappa_1\cdot\kappa_2 = \max\kappa_1, \kappa_2)$. Isto significa que se $\kappa$ for um cardeal infinito, $\kappa^2 = \kappa$, por isso também teremos $\sqrt\kappa = \kappa$.
(Você também pode definir os expoentes: $\kappa_1^{\kappa_2}$ é o tamanho do conjunto de todas as funções possíveis do formulário $X_2$ para $X_1$. Por exemplo, $2$ é um conjunto de dois elementos, por isso $\kappa^2$ é o conjunto de funções de um conjunto de dois elementos para $\kappa$. Uma função de um conjunto de dois elementos é a mesma que um par ordenado, por isso esta é na verdade a mesma que $\kappa\cdot \kappa$. Fixe, não é?)
o segundo é o ordinal. Significam ordenamentos de objectos. No entanto, nem todos os ordenamentos, mas ordenamentos onde qualquer subconjunto tem um menor elemento, os chamados bem ordenados. Novamente, um ordinal finito é apenas um número natural (significando “o pedido de todos os menores números naturais”), mas apenas como da última vez, há infinitos números ordinais, o menor dos quais é chamado de $\omega_0$, ou apenas $\omega$, e significa a ordenação dos números naturais.
Além de ordinais é feito da seguinte forma: Se $\gamma, \lambda$ são ordinais, então $\gamma + \lambda$ é a ordenação obtido colocando $\gamma$ na frente de $\lambda$. Por exemplo, $1 + \omega$, é o mesmo que $\omega$, porque se você pegar os números naturais, e colocar um elemento em frente de todos eles, você tem algo que, como medida de encomenda está em causa, parece exatamente o mesmo que os números naturais em si. No entanto, $\omega + 1$ significa colocar um único elemento depois de todos os números naturais, que é uma ordem diferente.
a multiplicação funciona da seguinte forma: $\gamma\cdot \lambda$ é o ordinal que obtemos tomando $\lambda$, substituindo cada elemento nessa encomenda por uma cópia de $\gamma$, e adicionando-os todos nessa ordem (i.e. (nós especificamos que você trabalha seu caminho da esquerda para a direita). Dessa forma, $2\cdot \omega$ significa pegar os números naturais, trocando cada um dos números por dois números, e, em seguida, colocar todos esses pares um após o outro. Isto dá-nos$ \omega $ de volta. No entanto, $ \ omega \ cdot 2$ significa tomar um par ordenado, trocar cada um dos dois elementos com uma cópia dos números naturais, e, em seguida, colocar uma cópia após a outra. Este é o mesmo que você obter por calcular $\omega + \omega$.
In this framework, multiplication and addition of infinite ordinals is not as trivial as for the cardinals. Temos, por exemplo, $\omega\cdot \omega = \omega + \omega +\cdots$, que é o menor ordinal quadrado perfeito infinito. Como com os próprios números naturais, existem alguns ordinais que têm uma raiz quadrada, e alguns que não têm. Especificamente, $ \omega$ não tem uma raiz quadrada.
(também pode definir expoentes para ordinais: Neste caso, $\gamma^\lambda$ é o ordinal temos se tomarmos $\lambda$, substituir cada elemento com cópias de $\gamma$, e multiplicá-los todos juntos, assim como a multiplicação foi definido como a adição repetida. Isto faz $\omega^2 = \omega\cdot \omega$. Fixe, não é? Note que enquanto a adição ordinal e cardinal e a multiplicação são um pouco similares, suas noções de exponenciação são muito diferentes.)
por último, vou falar sobre os números surreais. Enquanto ordinais e cardeais estão em uso pesado na teoria dos conjuntos, os números surreais são mais de uma curiosidade. Eles também são um pouco mais difícil de envolver sua cabeça em torno de. No entanto, eu realmente gosto deles, então aqui está um breve resumo.
um número surreal $x$ consiste num par ordenado de conjuntos escrito $ \ langle L_x\mid R_x\rangle$, onde $L_x $ chamou o conjunto esquerdo de $x$ e $R_x$ é chamado o conjunto direito. Estes conjuntos consistem em outros números surreais, com o requisito de que se $x_l \em L_x$ e $x_r\em R_x$, então temos $x_l < x_r$. $x$ então significa um número surreal entre $L_x$ e $R_x$ (o primeiro número de acordo com sua geração, veja abaixo). A ordenação é definida da seguinte forma: Dadas duas surreal números de $x = \langle L_x\mid R_x\rangle, y = \langle L_y\mid R_y\rangle$ dizemos que $x \leq y$ iff ambos os procedimentos a seguir forem verdadeiras:
- não Há $x_l\no L_x$ tal que $y \leq x_l$
- não Há $y_r\no R_y$ tal que $y_r\leq x$
(Note que, a fim de avaliar $y \leq x_l$ e $y_r\leq x$, você precisa aplicar a mesma definição mais uma vez. Isto, na prática, tornar-se-á muito tedioso para todos, menos para os números mais simples. Este conceito recursivo vem de volta ao definir adição e multiplicação.)
na verdade, eu não estava sendo completamente verdadeiro antes. Um número surreal é uma classe de equivalência de tais pares (isto é o que me levou muito tempo para realmente apreciar). Um par em si é chamado de forma de número surreal. Dois formulários $x, Y$ pertencem à mesma classe de equivalência $x\leq y$ e $y\leq x$.
cada número surreal tem uma chamada “geração”. O primeiro número surreal (geração $0$) é $0 = \ langle {} \ mid {} \ rangle$ onde os conjuntos esquerdo e direito estão vazios. Os dois números surreais seguintes (geração $1$) são $1 = \ langle0\mid {} \ rangle$ e $-1 = \langle{}\mid 0\rangle$. A geração de us $2$ consiste de $-2 = \langle{}\mid -1\rangle$, $-\frac12 = \langle -1\mid 0\rangle$, $\frac12 = \langle 0\mid 1\rangle$ e $2 = \langle 1\mid{}\rangle$.
Aqui podemos ver as classes de equivalência no trabalho, porque nós também temos de us $2 = \langle -1, 0, 1\mid {}\rangle$, e temos, por exemplo, $0 = \langle -2\mid 1\rangle$, porque, mesmo que $-1$, $\frac12$ e $\frac12$ também estão entre us $-2$ e $1$, $0$ pertence a uma geração anterior. Você pode verificar que realmente temos $\langle -2\mid 1\rangle\leq \langle {}\mid {}\rangle$ e ao mesmo tempo $\langle {}\mid{}\rangle \leq \langle -2\mid 1\rangle$, enquanto o mesmo não é verdade que se nós de comutação $\langle {}\mid{}\rangle$ para $\langle 0\mid 1\rangle$.
Vamos continuar fazendo mais fina divisões em todos os finito de gerações, cada número que aparece sendo um número da forma $\frac um{2^b}$, um diádica fração, até chegar a primeira infinito geração, $\omega$ (sim, as novas gerações são ordinais), onde todos os números reais, de repente, pop-up (por exemplo, $\sqrt 2 = \langle 1, \frac{5}{4}, \frac{11}{8}, \ldots{}\mid {}\ldots,\frac{12}{8}, \frac{3}{2}, 2\rangle$). Nós também temos o primeiro ordinal infinito, $\omega$ em si, como $\langle 1, 2, 3,\ldots{}\mid{}\rangle$, e sua recíproca $\frac1\omega = \langle {}\mid {}\ldots \frac18,\frac14,\frac12,1\rangle$.
até agora eu não tenho falado sobre a aritmética. Sem isso, não há razão para chamar $\langle 0\mid 1\rangle$ $\frac12$ e nada mais. Dado $x = \langle L_x\mid R_x\rangle$ e $y = \langle L_y\mid R_y\rangle$, além é definida recursivamente por$$x + y = \langle \{x + y_l: y_l \no L_y\}\cup \{x_l + y:x_l\in L_x\} \mid \{x + y_r: y_r \no R_y\}\cup \{x_r + y:x_r\no R_x\}\rangle$$Multiplicação é um pouco mais confuso, então vou usar alguns abreviada:$$xy = \langle \{x_ly + xy_l – x_ly_l\}\cup\{x_ry + xy_r – x_ry_r\}\mid \{x_ly + xy_r – x_ly_r\}\cup\{x_ry + xy_l – x_ry_l\}\rangle$$onde subtração é definido como se poderia esperar, eliminando o número e a adição. A negação é feita através da negação de cada elemento nos conjuntos direita e esquerda, e troca os dois ao redor.
assim como com os ordinais, $\omega^2 = \omega\cdot \omega$ é um quadrado perfeito. No entanto, aqui vem a parte divertida: qualquer número surreal positivo tem uma raiz quadrada. Para obter a raiz quadrada de $\omega$, precisamos então, mais algumas definições (teoricamente, poderia e deveria justificar cada um desses nomes por efectuar a adição e multiplicação para ver que você tem o que você deve, mas isso é um monte de trabalho):$$\omega – 1 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega\rangle\\\omega – 2 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega – 1\rangle\\\omega – 3 = \langle 1, 2, 3,\ldots\mid \omega – 2\rangle\\\vdots$$e, em seguida, obtemos $\frac\omega2 = \langle 1, 2, 3,\ldots \mid\ldots, \omega – 3, \omega – 2, \omega – 1\rangle$. Similarily, podemos definir $\frac\omega2-1, \frac\omega2-us$ 2, e assim por diante, e nós temos $\frac\omega4 = \langle 1, 2, 3, \ldots\mid \ldots, \frac\omega2 – 3,\frac\omega2-2,\frac\omega2 – 1\rangle$. Então podemos definir $\frac \ omega8, \frac \ omega {16}$ e assim por diante. Finalmente, obtemos $\sqrt\omega = \langle 1, 2, 3, 4,\ldots\mid \ldots,\frac\omega8,\frac\omega4,\frac\omega2,\omega\rangle$. Estamos agora na geração $ \ omega^2$.
