Che cos’è una Wavelet?
Una wavelet è una forma d’onda di durata effettivamente limitata che ha un valore medio di norma zero e diverso da zero.
Molti segnali e immagini di interesse mostrano un comportamento uniforme a tratti punteggiato da transitori. I segnali vocali sono caratterizzati da brevi raffiche che codificano le consonanti seguite da oscillazioni allo stato stazionario indicative delle vocali. Le immagini naturali hanno bordi. Le serie temporali finanziarie mostrano comportamenti transitori, che caratterizzano rapidi rovesci e rovesci in condizioni economiche. A differenza della base di Fourier, le basi wavelet sono abili a rappresentare scarsamente segnali e immagini regolari a tratti, che includono un comportamento transitorio.
Confronta le wavelet con le onde sinusoidali, che sono alla base dell’analisi di Fourier. I sinusoidi non hanno una durata limitata-si estendono da meno a più infinito. Mentre le sinusoidi sono lisce e prevedibili, le wavelet tendono ad essere irregolari e asimmetriche.
L’analisi di Fourier consiste nel suddividere un segnale in onde sinusoidali di varie frequenze. Allo stesso modo, l’analisi wavelet è la rottura di un segnale in versioni spostate e ridimensionate dell’wavelet originale (o madre).
Basta guardare le immagini di wavelet e onde sinusoidali, si può vedere intuitivamente che i segnali con cambiamenti bruschi potrebbero essere analizzati meglio con una wavelet irregolare che con una sinusoide liscia.
Ha anche senso che le caratteristiche locali possano essere descritte meglio con wavelet che hanno estensione locale. L’esempio seguente illustra questo per un segnale semplice costituito da un’onda sinusoidale con una discontinuità.
Localizza discontinuità nell’onda sinusoidale
Questo esempio mostra che l’analisi wavelet può localizzare una discontinuità in un’onda sinusoidale.
Crea un’onda sinusoidale a 1 Hz campionata a 100 Hz. La durata dell’onda sinusoidale è di un secondo. L’onda sinusoidale ha una discontinuità a t = 0,5 secondi.
t = linspace(0,1,100)';x = sin(2*pi*t);x1 = x-0.15;y = zeros(size(x));y(1:length(y)/2) = x(1:length(y)/2);y(length(y)/2+1:end) = x1(length(y)/2+1:end);stem(t,y,'markerfacecolor',); xlabel('Seconds'); ylabel('Amplitude');
Ottenere la trasformata wavelet discreta non definita dell’onda sinusoidale utilizzando la wavelet 'sym2' e tracciare i coefficienti wavelet (dettaglio) insieme al segnale originale.
= swt(y,1,'sym2');subplot(211)stem(t,y,'markerfacecolor',); title('Original Signal');subplot(212)stem(t,swd,'markerfacecolor',);title('Level 1 Wavelet Coefficients');
Confrontare le grandezze del coefficiente di Fourier per l’onda sinusoidale 1-Hz con e senza la discontinuità.
dftsig = fft();dftsig = dftsig(1:length(y)/2+1,:);df = 100/length(y);freq = 0:df:50;stem(freq,abs(dftsig));xlabel('Hz'); ylabel('Magnitude');legend('sine wave','sine wave with discontinuity');
C’è una differenza minima nelle grandezze dei coefficienti di Fourier. Poiché i vettori di base discreti di Fourier hanno supporto per l’intero intervallo di tempo, la trasformata discreta di Fourier non rileva la discontinuità in modo efficiente come la trasformata wavelet.
Confrontare i coefficienti wavelet di livello 1 per l’onda sinusoidale con e senza la discontinuità.
= swt(x,1,'sym2');subplot(211)stem(t,swd); title('Sine Wave with Discontinuity (Wavelet Coefficients)');subplot(212)stem(t,swdx); title('Sine Wave (Wavelet Coefficients)');
I coefficienti wavelet dei due segnali dimostrano una differenza significativa. L’analisi Wavelet è spesso in grado di rivelare caratteristiche di un segnale o di un’immagine che altre tecniche di analisi mancano, come tendenze, punti di rottura, discontinuità in derivati superiori e auto-somiglianza. Inoltre, poiché le wavelet forniscono una visione diversa dei dati rispetto a quelle presentate dalle tecniche di Fourier, l’analisi wavelet può spesso comprimere o denoise in modo significativo un segnale senza un degrado apprezzabile.
