Wat is een Wavelet?
een golfvorm is een golfvorm met een effectief beperkte duur die een gemiddelde waarde heeft van nul en een niet-nulnorm.
veel interessante signalen en beelden vertonen stuksgewijs glad gedrag, gekenmerkt door transiënten. Spraaksignalen worden gekenmerkt door korte uitbarstingen die medeklinkers coderen, gevolgd door steady-state oscillaties die indicatief zijn voor klinkers. Natuurlijke beelden hebben randen. Financiële tijdreeksen vertonen tijdelijk gedrag, dat snelle op-en neergang in economische omstandigheden kenmerkt. In tegenstelling tot de Fourier basis, wavelet bases zijn bedreven op schaars vertegenwoordigen stuksgewijze regelmatige signalen en beelden, die voorbijgaand gedrag omvatten.
vergelijk wavelets met sinusgolven, die de basis vormen van fourieranalyse. Sinusoïden hebben geen beperkte duur — ze strekken zich uit van min tot plus oneindig. Hoewel sinusoïden glad en voorspelbaar zijn, hebben golfjes de neiging onregelmatig en asymmetrisch te zijn.
Fourier analyse bestaat uit het breken van een signaal in sinusgolven van verschillende frequenties. Ook wavelet analyse is het opbreken van een signaal in verschoven en geschaalde versies van de oorspronkelijke (of moeder) wavelet.
als je alleen foto ‘ s van wavelets en sinusgolven bekijkt, kun je intuïtief zien dat signalen met scherpe veranderingen beter geanalyseerd kunnen worden met een onregelmatige wavelet dan met een gladde sinusoïde.
het is ook logisch dat lokale kenmerken beter beschreven kunnen worden met wavelets die lokale omvang hebben. Het volgende voorbeeld illustreert dit voor een eenvoudig signaal dat bestaat uit een sinusgolf met een discontinuïteit.
discontinuïteit lokaliseren in sinusgolf
dit voorbeeld laat zien dat waveletanalyse een discontinuïteit in een sinusgolf kan lokaliseren.
Creëer een sinusgolf van 1 Hz, gemeten bij 100 Hz. De duur van de sinusgolf is één seconde. De sinusgolf heeft een discontinuïteit bij t = 0,5 seconden.
t = linspace(0,1,100)';x = sin(2*pi*t);x1 = x-0.15;y = zeros(size(x));y(1:length(y)/2) = x(1:length(y)/2);y(length(y)/2+1:end) = x1(length(y)/2+1:end);stem(t,y,'markerfacecolor',); xlabel('Seconds'); ylabel('Amplitude');
Verkrijg de niet-gespecificeerde discrete wavelettransformatie van de sinus met behulp van de 'sym2' wavelet en plot de wavelet (detail) coëfficiënten samen met het oorspronkelijke signaal.
= swt(y,1,'sym2');subplot(211)stem(t,y,'markerfacecolor',); title('Original Signal');subplot(212)stem(t,swd,'markerfacecolor',);title('Level 1 Wavelet Coefficients');
vergelijk de Fourier coëfficiënt magnitudes voor de 1-Hz sinus golf met en zonder de discontinuïteit.
dftsig = fft();dftsig = dftsig(1:length(y)/2+1,:);df = 100/length(y);freq = 0:df:50;stem(freq,abs(dftsig));xlabel('Hz'); ylabel('Magnitude');legend('sine wave','sine wave with discontinuity');
er is minimaal verschil in de magnitudes van de Fourier coëfficiënten. Omdat de discrete Fourier basisvectoren ondersteuning hebben over het gehele tijdsinterval, detecteert de discrete fouriertransformatie de discontinuïteit niet zo efficiënt als de wavelettransformatie.
vergelijk de niveau 1 wavelet-coëfficiënten voor de sinusgolf met en zonder de discontinuïteit.
= swt(x,1,'sym2');subplot(211)stem(t,swd); title('Sine Wave with Discontinuity (Wavelet Coefficients)');subplot(212)stem(t,swdx); title('Sine Wave (Wavelet Coefficients)');
de wavelet-coëfficiënten van de twee signalen laten een significant verschil zien. Wavelet-analyse is vaak in staat om kenmerken van een signaal of beeld te onthullen die andere analysetechnieken missen, zoals trends, afbraakpunten, discontinuïteiten in hogere afgeleiden en zelf-gelijkenis. Bovendien, omdat wavelets een andere kijk op gegevens geven dan die van Fourier technieken, kan wavelet analyse een signaal vaak significant comprimeren of denoise zonder merkbare degradatie.
