o que é um Wavelet?
um wavelet é uma forma de onda de duração efetivamente limitada que tem um valor médio de zero e não-zero norma.
muitos sinais e imagens de interesse exibem comportamento suave em trechos pontuados por transientes. Sinais de fala são caracterizados por pequenas rajadas codificando consoantes seguidas de oscilações de estado estacionário indicativas de vogais. As imagens naturais têm bordas. Séries temporais financeiras exibem um comportamento transitório, que caracteriza os altos e baixos rápidos em condições econômicas. Diferentemente da base de Fourier, as bases ondulatórias são adeptas a representar pouco a pouco sinais e imagens regulares em trechos, que incluem comportamento transitório.
Compare wavelets with sine waves, which are the basis of Fourier analysis. Os sinusóides não têm duração limitada — estendem-se de menos para mais infinito. Enquanto os sinusóides são lisos e previsíveis, os wavelets tendem a ser irregulares e assimétricos.
a análise de Fourier consiste em quebrar um sinal em ondas seno de várias frequências. Similarmente, a análise wavelet é a divisão de um sinal em versões mudadas e escaladas do original (ou mãe) wavelet.
apenas olhando para imagens de ondas de onda e ondas seno, você pode ver intuitivamente que Sinais com mudanças nítidas podem ser melhor analisados com um wavelet irregular do que com um sinusóide suave.
também faz sentido que as características locais podem ser descritas melhor com wavelets que têm extensão local. O exemplo a seguir ilustra isto para um sinal simples consistindo de uma onda seno com uma descontinuidade.Este exemplo mostra que a análise de wavelet pode localizar uma descontinuidade numa onda Sina.
criar uma onda sinosa de 1 Hz amostrada a 100 Hz. A duração da onda seno é de um segundo. A onda sinusal tem uma descontinuidade em t = 0,5 segundos.
t = linspace(0,1,100)';x = sin(2*pi*t);x1 = x-0.15;y = zeros(size(x));y(1:length(y)/2) = x(1:length(y)/2);y(length(y)/2+1:end) = x1(length(y)/2+1:end);stem(t,y,'markerfacecolor',); xlabel('Seconds'); ylabel('Amplitude');
obter a Transformada discreta de wavelet não especificada da onda seno usando o 'sym2' wavelet e plotar os coeficientes de wavelet (detalhe) juntamente com o sinal original.
= swt(y,1,'sym2');subplot(211)stem(t,y,'markerfacecolor',); title('Original Signal');subplot(212)stem(t,swd,'markerfacecolor',);title('Level 1 Wavelet Coefficients');
Compare as magnitudes do coeficiente de Fourier para a onda seno de 1 Hz com e sem descontinuidade.
dftsig = fft();dftsig = dftsig(1:length(y)/2+1,:);df = 100/length(y);freq = 0:df:50;stem(freq,abs(dftsig));xlabel('Hz'); ylabel('Magnitude');legend('sine wave','sine wave with discontinuity');
há uma diferença mínima nas magnitudes dos coeficientes de Fourier. Como os vetores de base discretos de Fourier têm suporte ao longo de todo o intervalo de tempo, a Transformada discreta de Fourier não detecta a descontinuidade tão eficientemente quanto a Transformada de wavelet.
Compare os coeficientes de wavelet de Nível 1 para a onda de seno com e sem a descontinuidade.
= swt(x,1,'sym2');subplot(211)stem(t,swd); title('Sine Wave with Discontinuity (Wavelet Coefficients)');subplot(212)stem(t,swdx); title('Sine Wave (Wavelet Coefficients)');
os coeficientes wavelet dos dois sinais demonstram uma diferença significativa. Análise Wavelet é muitas vezes capaz de revelar características de um sinal ou imagem que outras técnicas de análise falham, como tendências, pontos de ruptura, descontinuidades em derivados mais elevados, e auto-similaridade. Além disso, como os wavelets fornecem uma visão diferente dos dados apresentados pelas técnicas de Fourier, a análise wavelet pode muitas vezes comprimir significativamente ou denoise um sinal sem degradação apreciável.
