Qu’est-ce que le tracé de Nyquist
Un tracé de Nyquist (ou diagramme de Nyquist) est un tracé de réponse en fréquence utilisé en ingénierie de contrôle et en traitement du signal. Les tracés de Nyquist sont couramment utilisés pour évaluer la stabilité d’un système avec rétroaction. En coordonnées cartésiennes, la partie réelle de la fonction de transfert est tracée sur l’axe des abscisses et la partie imaginaire est tracée sur l’axe des Ordonnées. La fréquence est balayée en tant que paramètre, ce qui donne un tracé basé sur la fréquence. Le même tracé de Nyquist peut être décrit en utilisant des coordonnées polaires, où le gain de la fonction de transfert est la coordonnée radiale et la phase de la fonction de transfert est la coordonnée angulaire correspondante.
L’analyse de stabilité d’un système de contrôle de rétroaction est basée sur l’identification de l’emplacement des racines de l’équation caractéristique sur le plan s. Le système est stable si les racines se trouvent sur le côté gauche du plan en s. La stabilité relative d’un système peut être déterminée à l’aide de méthodes de réponse en fréquence, telles que le tracé de Nyquist et le tracé de Bode.
Le critère de stabilité de Nyquist est utilisé pour identifier la présence de racines d’une équation caractéristique dans une région spécifiée du plan s. Pour comprendre un complot de Nyquist, nous devons d’abord en apprendre davantage sur certaines terminologies. Notez qu’un chemin fermé dans un plan complexe est appelé contour.
Chemin de Nyquist ou contour de Nyquist
Le contour de Nyquist est un contour fermé dans le plan s qui entoure complètement toute la moitié droite du plan s. Afin d’enfermer le RHS complet du plan en s, un grand chemin en demi-cercle est tracé avec un diamètre le long de l’axe jw et au centre à l’origine. Le rayon du demi-cercle est traité comme un encerclement de Nyquist.
Encerclement de Nyquist
Un point est dit encerclé par un contour s’il se trouve à l’intérieur du contour.
Mappage de Nyquist
Le processus par lequel un point du plan s est transformé en un point du plan F(s) est appelé mappage et F(s) est appelé fonction de mappage.
Comment dessiner un tracé de Nyquist
Un tracé de Nyquist peut être dessiné en suivant les étapes suivantes:
- Étape 1 – Vérifiez les pôles de G(s) H(s) de l’axe jw, y compris celui d’origine.
- Étape 2 – Sélectionnez le contour de Nyquist approprié – a) Incluez toute la moitié droite du plan s en dessinant un demi-cercle de rayon R avec R tend vers l’infini.
- Étape 3 – Identifier les différents segments sur le contour en référence au chemin de Nyquist
- Étape 4 – Effectuer le mappage segment par segment en substituant l’équation au segment respectif dans la fonction de mappage. Fondamentalement, nous devons esquisser les graphiques polaires du segment respectif.
- Étape 5 – Mappage des segments sont généralement des images miroir de mappage du chemin respectif de +ve axe imaginaire.
- Étape 6 – Le chemin semi-circulaire qui couvre la moitié droite du plan s correspond généralement à un point du plan G(s) H(s).
- Étape 7 – Interconnectez tout le mappage des différents segments pour obtenir le diagramme de Nyquist requis.
- Étape 8 – Notez le nombre d’encerclement dans le sens horaire d’environ (-1, 0) et décidez de la stabilité par N = Z-P
est la fonction de transfert en boucle ouverte (O.L.T.F)
est la fonction de transfert en boucle fermée (C.L.T.F)
N(s) = 0 est le zéro de la boucle ouverte et D(s) est le pôle de la boucle ouverte
Du point de vue de la stabilité, aucun pôle de boucle fermée ne doit se trouver du côté RH du plan s. Caractéristiques l’équation 1 + G(s) H(s) = 0 désigne les pôles en boucle fermée.
Maintenant comme 1 + G(s) H(s) = 0 donc q(s) devrait également être nul.
Par conséquent, du point de vue de la stabilité, les zéros de q(s) ne doivent pas se situer dans RHP du plan s.
Pour définir la stabilité, tout le RHP (Plan de droite) est considéré. Nous supposons un demi-cercle qui entoure tous les points du RHP en considérant que le rayon du demi-cercle R tend vers l’infini. .
La première étape pour comprendre l’application du critère de Nyquist en ce qui concerne la détermination de la stabilité des systèmes de contrôle consiste à cartographier du plan s au plan G(s) H(s). s est considérée comme une variable complexe indépendante et la valeur correspondante de G(s)H(s) étant la variable dépendante tracée dans un autre plan complexe appelé G(s)H(s)–plan.
Ainsi, pour chaque point du plan s, il existe un point correspondant du plan G(s) H(s). Au cours du processus de mappage, la variable indépendante s est modifiée le long d’un chemin spécifié dans le plan s et les points correspondants dans le plan G(s) H(s) sont joints. Ceci termine le processus de mappage du plan s au plan G(s) H(s).
Le critère de stabilité de Nyquist indique que N = Z-P. Où, N est le nombre total. d’encerclement autour de l’origine, P est le nombre total. de pôles et Z est le nombre total. des zéros.
Cas 1 : N = 0 (pas d’encerclement), donc Z = P = 0 et Z = P
Si N = 0, P doit être nul donc le système est stable.
Cas 2: N > 0 (encerclement dans le sens des aiguilles d’une montre), donc P = 0, Z ≠0 et Z > P
Pour les deux cas, le système est instable.
Cas 3 : N < 0 (encerclement dans le sens antihoraire), donc Z = 0, P ≠0 et P > Z
Le système est stable.
